Determine as coordenadas da matriz
M=\left[\begin{array}{ll} 4 & 6 \\\\ 5 & 6 \end{array}\right] \text { em relação à base }çãà \beta=\left\{A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}\right\} onde:
A_{1}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right], A_{2}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], A_{3}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], A_{4}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para expressar a matriz
M = \begin{pmatrix}4 & 6 \\\\ 5 & 6\end{pmatrix}
como combinação linear das matrizes da base
\beta = \{A_1,A_2,A_3,A_4\}, onde
A_1=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\; A_2=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix},\; A_3=\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix},\; A_4=\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&1\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é espaço vetorial de matrizes 2\times2 e coordenadas relativas a uma base, que se obtêm resolvendo um sistema linear igualando entradas dos lados.

Passo 2

Suponha que existam escalares c_1,c_2,c_3,c_4 tais que
c_1A_1 + c_2A_2 + c_3A_3 + c_4A_4 \;=\; M.

Passo 3

Igualando as entradas correspondentes das duas matrizes obtemos o sistema
\begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 = 4,\\\ c_1 + c_2 + c_4 = 6,\\\ c_1 + c_3 + c_4 = 5,\\\ c_2 + c_3 + c_4 = 6. \end{cases}

Passo 4

Do primeiro escolhemos
c_1 = 4 - c_2 - c_3.
Substituindo na terceira equação vem
(4 - c_2 - c_3) + c_3 + c_4 = 5 \quad\Longrightarrow\quad c_4 = c_2 + 1.
Agora usamos a segunda e a quarta equações com c_1 e c_4 já expressos:
c_1 + c_2 + c_4 = 6 \;\Longrightarrow\; (4 - c_2 - c_3)+c_2+(c_2+1)=6 \;\Longrightarrow\; c_2 - c_3 = 1,
c_2 + c_3 + c_4 = 6 \;\Longrightarrow\; c_2 + c_3 + (c_2+1)=6 \;\Longrightarrow\; 2c_2 + c_3 = 5.
Resolvendo o sistema
\{c_2 - c_3 =1,\;2c_2 + c_3 =5\} vem
c_2 = 2,\quad c_3 = 1.
Então
c_4 = c_2 +1 = 3, \quad c_1 = 4 - c_2 - c_3 = 1.

Resposta

As coordenadas de M na base \beta são
(c_1,c_2,c_3,c_4) = (1,2,1,3).

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