Q9: Suponha que numa certa cidade apenas chove, ou faz sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 20 \% de chance de fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com a probabilidade de 95 \%. Qual é a probabilidade aproximada que no primeiro dia de janeiro daqui a 20 anos o dia será ensolarado?
(A) 4.9 \%
(B) 5.9 \%
(C) 6.9 \%
(D) 7.9 \%
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado descreve um processo de tempo discreto com dois estados — dia ensolarado (S) ou chuvoso (C) — e probabilidades de transição entre eles. Queremos saber a probabilidade de estar ensolarado após um intervalo grande ( 20 anos \approx 7300 dias), o que nos sugere usar a distribuição estacionária de uma cadeia de Markov ergódica.

Passo 2

Definimos a matriz de transição P cujas linhas indicam o estado atual e colunas o estado seguinte:
P = \begin{pmatrix} P(S\to S) & P(S\to C)\\\ P(C\to S) & P(C\to C) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.8\\\\ 0.05 & 0.95 \end{pmatrix}.

Passo 3

A distribuição estacionária \pi=(\pi_S,\pi_C) satisfaz \pi = \pi P e \pi_S+\pi_C=1. Da primeira coordenada:
\pi_S = \pi_S\cdot 0.2 + \pi_C\cdot 0.05.
Como \pi_C = 1-\pi_S, segue
\pi_S = 0.2\,\pi_S + 0.05\,(1-\pi_S) =0.2\pi_S +0.05 -0.05\pi_S =0.15\pi_S +0.05.
Isolando \pi_S:
\pi_S -0.15\pi_S =0.05 \quad\Longrightarrow\quad 0.85\,\pi_S =0.05 \quad\Longrightarrow\quad \pi_S = \frac{0.05}{0.85} \approx 0.0588235.

Passo 4

Como 7300 dias bastam para a cadeia atingir a regime estacionário, a probabilidade de estar ensolarado daqui a 20 anos é
\pi_S \approx 0.0588235 \quad\text{ou}\quad 5{,}88235\%.
Arredondando para uma casa decimal, dá 5{,}9\%.

Resposta

(B) 5{,}9\%

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