Considere as afirmativas abaixo:
I - Se p é o polinômio característico de uma matriz real e p(-2+3 i)=0, então p(-2-3 i)=0.
II - Se P: \mathbb{R}^{62} \rightarrow \mathbb{R}^{62} possui 62 autovalores reais distintos, então P é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações envolvendo autovalores de matrizes ou de transformações lineares em espaços reais. O conteúdo da matéria é teoria espectral de matrizes reais (polinômio característico e propriedades de raízes de polinômios com coeficientes reais) e diagonalização de operadores lineares. Vamos verificar a veracidade de cada afirmativa.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Se p é o polinômio característico de uma matriz real e p(-2+3i)=0, então p(-2-3i)=0.”
Um polinômio característico de matriz real tem coeficientes reais. É um resultado clássico de álgebra que se um polinômio com coeficientes reais tem uma raiz complexa a+bi, então sua conjugada a-bi também é raiz. Portanto, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Se P: \mathbb{R}^{62} \rightarrow \mathbb{R}^{62} possui 62 autovalores reais distintos, então P é diagonalizável.”
Quando um operador linear em espaço de dimensão n tem n autovalores distintos (no corpo de definição, aqui \mathbb{R}), seu polinômio minimal se separa em n fatores lineares distintos. Isso garante que a soma das dimensões dos autovetores seja n, logo existe base de autovetores e P é diagonalizável. Assim, II também é verdadeira.

Resposta

Ambas as afirmativas I e II são verdadeiras.

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