Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é o polinômio característico de uma matriz real e
, então
.
II - Se
possui 62 autovalores reais distintos, então
é diagonalizável.
II - Se
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações envolvendo autovalores de matrizes ou de transformações lineares em espaços reais. O conteúdo da matéria é teoria espectral de matrizes reais (polinômio característico e propriedades de raízes de polinômios com coeficientes reais) e diagonalização de operadores lineares. Vamos verificar a veracidade de cada afirmativa.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Se
é o polinômio característico de uma matriz real e
, então
.”
Um polinômio característico de matriz real tem coeficientes reais. É um resultado clássico de álgebra que se um polinômio com coeficientes reais tem uma raiz complexa , então sua conjugada
também é raiz. Portanto, I é verdadeira.
Um polinômio característico de matriz real tem coeficientes reais. É um resultado clássico de álgebra que se um polinômio com coeficientes reais tem uma raiz complexa
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Se
possui 62 autovalores reais distintos, então
é diagonalizável.”
Quando um operador linear em espaço de dimensão tem
autovalores distintos (no corpo de definição, aqui
), seu polinômio minimal se separa em
fatores lineares distintos. Isso garante que a soma das dimensões dos autovetores seja
, logo existe base de autovetores e
é diagonalizável. Assim, II também é verdadeira.
Quando um operador linear em espaço de dimensão
Resposta
Ambas as afirmativas I e II são verdadeiras.