1. Determine as coordenadas do polinômio p=t^{5}-t^{4}+t^{3}-t^{2}-t+1 com relação à base
\beta=\left\{v_{1}=t^{3}+1, v_{2}=t^{3}+t, v_{3}=t^{3}+t^{2}, v_{4}=t^{3}, v_{5}=t^{4}+t^{3}, v_{6}=t^{5}+t^{3}\right\}
de \mathscr{P}_{5}. Obs.: \mathscr{P}_{5} é o espaço vetorial dos polinômios de graus menor ou igual a 5 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do polinômio \,p=t^{5}-t^{4}+t^{3}-t^{2}-t+1\, com respeito à base
\beta=\{v_{1}=t^{3}+1,\; v_{2}=t^{3}+t,\; v_{3}=t^{3}+t^{2},\; v_{4}=t^{3},\; v_{5}=t^{4}+t^{3},\; v_{6}=t^{5}+t^{3}\}
do espaço \mathscr{P}_{5} (polinômios de grau \le 5). Informações relevantes dadas:
  • O polinômio alvo é \,p=t^{5}-t^{4}+t^{3}-t^{2}-t+1\,.
  • A base \beta tem seis vetores v_{1},\dots,v_{6} expressos acima.
  • O objetivo é achar os escalares (coordenadas) (a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6}) tais que p=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+a_{4}v_{4}+a_{5}v_{5}+a_{6}v_{6}.

Passo 2

O que significa “coordenadas” aqui — explicação didática e concreta:
  • Pedem-se os coeficientes a_{1},\dots,a_{6} da combinação linear de v_{1},\dots,v_{6} que produz p.
  • Escrevemos a igualdade geral
p=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+a_{4}v_{4}+a_{5}v_{5}+a_{6}v_{6}.
  • Cada v_{i} é um polinômio que contribui com coeficientes nos termos 1,t,t^{2},t^{3},t^{4},t^{5}. Igualando os coeficientes de cada potência de t na expressão acima obtemos um sistema linear para os a_{i}.
  • Vou usar a base canônica de \mathscr{P}_{5} na ordem \{1,t,t^{2},t^{3},t^{4},t^{5}\} para igualar coeficientes.

Passo 3

Escrever cada v_{i} em termos dos coeficientes nas potências \{1,t,t^{2},t^{3},t^{4},t^{5}\}:
\begin{aligned} v_{1}&=t^{3}+1 &\longrightarrow&\quad (1,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0),\\\ v_{2}&=t^{3}+t &\longrightarrow&\quad (0,\;1,\;0,\;1,\;0,\;0),\\\ v_{3}&=t^{3}+t^{2} &\longrightarrow&\quad (0,\;0,\;1,\;1,\;0,\;0),\\\ v_{4}&=t^{3} &\longrightarrow&\quad (0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;0),\\\ v_{5}&=t^{4}+t^{3} &\longrightarrow&\quad (0,\;0,\;0,\;1,\;1,\;0),\\\ v_{6}&=t^{5}+t^{3} &\longrightarrow&\quad (0,\;0,\;0,\;1,\;0,\;1). \end{aligned}
O polinômio alvo p tem coeficientes, na mesma ordem:
p\longrightarrow(1,\;-1,\;-1,\;1,\;-1,\;1),
ou seja coeficiente de 1 é 1, de t é -1, de t^{2} é -1, de t^{3} é 1, de t^{4} é -1 e de t^{5} é 1.

Passo 4

Formular as equações obtidas ao igualar coeficientes potência a potência.
  • Coeficiente de 1: apenas v_{1} tem termo constante, logo
a_{1}=1.
  • Coeficiente de t: apenas v_{2} tem termo t, logo
a_{2}=-1.
  • Coeficiente de t^{2}: apenas v_{3} tem termo t^{2}, logo
a_{3}=-1.
  • Coeficiente de t^{4}: apenas v_{5} tem termo t^{4}, logo
a_{5}=-1.
  • Coeficiente de t^{5}: apenas v_{6} tem termo t^{5}, logo
a_{6}=1.
  • Coeficiente de t^{3}: todos os v_{i} têm termo t^{3} (veja os vetores acima), então
a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=1,
pois o coeficiente de t^{3} em p é 1.

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo (substituindo os que já sabemos).
  • Já temos diretamente
a_{1}=1,\quad a_{2}=-1,\quad a_{3}=-1,\quad a_{5}=-1,\quad a_{6}=1.
  • Substituindo na equação do coeficiente de t^{3}:
1 + (-1) + (-1) + a_{4} + (-1) + 1 = 1.
  • Calcular a soma dos conhecidos: 1-1-1-1+1 = -1.
  • Então
-1 + a_{4} = 1 \quad\Rightarrow\quad a_{4}=1 - (-1)=2.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida (para ganhar confiança):
  • As coordenadas encontradas são
(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6})=(1,\,-1,\,-1,\;2,\,-1,\;1).
  • Se quiser verificar, recombine:
1\cdot(t^{3}+1) -1\cdot(t^{3}+t) -1\cdot(t^{3}+t^{2}) +2\cdot t^{3} -1\cdot(t^{4}+t^{3}) +1\cdot(t^{5}+t^{3})
expandindo e somando os coeficientes por potência recupera exatamente \,t^{5}-t^{4}+t^{3}-t^{2}-t+1\,. Isso confirma a correção.

Resposta

(1,\,-1,\,-1,\;2,\,-1,\;1)

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