- Determine as coordenadas do polinômio
com relação à base
de
. Obs.:
é o espaço vetorial dos polinômios de graus menor ou igual a 5 .
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do polinômio
com respeito à base
do espaço
(polinômios de grau
). Informações relevantes dadas:
- O polinômio alvo é
. - A base
tem seis vetores expressos acima. - O objetivo é achar os escalares (coordenadas)
tais que .
Passo 2
O que significa “coordenadas” aqui — explicação didática e concreta:
- Pedem-se os coeficientes
da combinação linear de que produz . - Escrevemos a igualdade geral
- Cada
é um polinômio que contribui com coeficientes nos termos . Igualando os coeficientes de cada potência de na expressão acima obtemos um sistema linear para os . - Vou usar a base canônica de
na ordem para igualar coeficientes.
Passo 3
Escrever cada
em termos dos coeficientes nas potências
:
O polinômio alvo
tem coeficientes, na mesma ordem:
ou seja coeficiente de
é
, de
é
, de
é
, de
é
, de
é
e de
é
.
Passo 4
Formular as equações obtidas ao igualar coeficientes potência a potência.
- Coeficiente de
: apenas tem termo constante, logo
- Coeficiente de
: apenas tem termo , logo
- Coeficiente de
: apenas tem termo , logo
- Coeficiente de
: apenas tem termo , logo
- Coeficiente de
: apenas tem termo , logo
- Coeficiente de
: todos os têm termo (veja os vetores acima), então
pois o coeficiente de
em
é
.
Passo 5
Resolver o sistema passo a passo (substituindo os que já sabemos).
- Já temos diretamente
- Substituindo na equação do coeficiente de
:
- Calcular a soma dos conhecidos:
. - Então
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida (para ganhar confiança):
- As coordenadas encontradas são
- Se quiser verificar, recombine:
expandindo e somando os coeficientes por potência recupera exatamente
. Isso confirma a correção.