Determine as coordenadas do ponto P sobre a curva y=\operatorname{sen}(x) mais próximo do ponto Q=(1,1) usando o Método de Newton. Antes de aplicar o método, determine um intervalo [a, b] de comprimento 1 que contém a solução do problema. Tome o ponto médio desse intervalo como aproximação inicial ( x_{0} ). Trabalhe com 4 casas decimais e imponha um erro para a coordenada x do ponto P inferior a 10^{-3}.

Passo 1

Queremos o ponto P=(x,\sin x) da curva y=\sin x que minimiza a distância até Q=(1,1). Equivalente a minimizar
D^2(x)=(x-1)^2+(\sin x-1)^2.
A condição de mínimo é
\frac{d}{dx}D^2(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad g(x)\equiv(x-1)+(\sin x-1)\cos x=0.

Passo 2

Procuramos um intervalo [a,b] de comprimento 1 em que g(a) e g(b) tenham sinais opostos. Calculando:
g(1)=(1-1)+(\sin1-1)\cos1<0, \quad g(2)=(2-1)+(\sin2-1)\cos2>0.
Logo podemos tomar [a,b]=[1,2], cujo ponto médio é
x_0=1{,}5.

Passo 3

Aplicamos o Método de Newton a
g(x)=(x-1)+(\sin x-1)\cos x, \quad g'(x)=1+\cos^2x-(\sin x-1)\sin x,
com x_{n+1}=x_n-\dfrac{g(x_n)}{g'(x_n)}, usando 4 casas decimais e até |x_{n+1}-x_n|<10^{-3}. Fazendo as iterações:
\displaystyle x_0=1{,}5000
\displaystyle g(x_0)=0{,}4998,\quad g'(x_0)=1{,}0075\quad\Longrightarrow\quad x_1=1{,}0039
\displaystyle g(x_1)=-0{,}0801,\quad g'(x_1)=1{,}4202\quad\Longrightarrow\quad x_2=1{,}0603
\displaystyle g(x_2)=-0{,}0020,\quad g'(x_2)=1{,}3500\quad\Longrightarrow\quad x_3=1{,}0618
\displaystyle g(x_3)=0{,}0000,\quad g'(x_3)=1{,}3481\quad\Longrightarrow\quad x_4\approx1{,}0618
Como |x_4-x_3|<0{,}001, paramos em
x^*=1{,}0618.

Passo 4

A ordenada correspondente é
y^*=\sin(1{,}0618)\approx0{,}8732.

Resposta

As coordenadas do ponto P são
P\approx\bigl(1{,}0618,\;0{,}8732\bigr).

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