Sabe-se que existe um único valor de t no intervalo \left[-1,-\frac{3}{5}\right] para o qual a matriz
C=\left(\begin{array}{ccc} 0,5 & 0,2 & t \\\\ 0,4 & t & 0,5 \\\ t & 0,5 & 0,2 \end{array}\right)
é singular, isto é, \operatorname{det}(A)=0. Determine uma aproximação para t via Método de Newton, com erro inferior a 10^{-2}. Tome x_{0}=-0,95 como aproximação inicial. Trabalhe com 5 algarismos significativos.

Passo 1

O enunciado pede o valor de t\in\bigl[-1,-\tfrac{3}{5}\bigr] para o qual a matriz
C(t)=\begin{pmatrix} 0,5 & 0,2 & t\\\\ 0,4 & t & 0,5\\\ t & 0,5 & 0,2 \end{pmatrix}
é singular, ou seja, \det C(t)=0. Vamos usar o Método de Newton para achar a raiz da função f(t)=\det C(t), começando em x_0=-0,95 e mantendo 5 algarismos significativos em cada iteração até que a diferença entre iterações seja menor que 10^{-2}.

Passo 2

Calculemos \displaystyle f(t)=\det C(t) por desenvolvimento:
f(t) =0,5\bigl(t\cdot0,2 - 0,5\cdot0,5\bigr) -0,2\bigl(0,4\cdot0,2 - 0,5\,t\bigr) +t\bigl(0,4\cdot0,5 - t^2\bigr).
Fazendo as operações,
f(t)=-t^3 +0,4\,t -0,141.

Passo 3

A derivada é
f'(t)=-3\,t^2 +0,4,
e a fórmula de Newton é
x_{n+1} =x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Passo 4

Iteração 1 com x_0=-0,95:
f(x_0)=0,33638,\quad f'(x_0)=-2,3075 \quad\Longrightarrow\quad x_1 = -0,95 - \frac{0,33638}{-2,3075} = -0,80427.

Passo 5

Iteração 2 com x_1=-0,80427:
f(x_1)=0,05753,\quad f'(x_1)=-1,5405 \quad\Longrightarrow\quad x_2 = -0,80427 - \frac{0,05753}{-1,5405} = -0,76692.

Passo 6

Iteração 3 com x_2=-0,76692:
f(x_2)=0,00330,\quad f'(x_2)=-1,3645 \quad\Longrightarrow\quad x_3 = -0,76692 - \frac{0,00330}{-1,3645} = -0,76450.
A diferença \lvert x_3 - x_2\rvert = 0,00242 < 10^{-2}, então paramos.

Resposta

t \approx -0,76450.

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