Utilize o método de Jacobi para obter uma solução aproximada para os sistemas abaixo (verifique o critério de convergência antes de aplicar o método, se necessário reordene as equações para satisfazer o critério de convergência). Faça iterações até que d_{i}=\max _{1 \leq k \leq n}\left|x_{k}^{(i)}-x_{k}^{(i-1)}\right|<0,01. \left\{\begin{array}{l}x+y-3 z=12 \\\\ 4 x-y+\frac{1}{2} z=\frac{1}{2} \\\ x+5 y+z=8\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o método de Jacobi ao sistema
\begin{cases} x + y - 3z = 12,\\\\ 4x - y + \tfrac12 z = \tfrac12,\\\ x + 5y + z = 8, \end{cases}
Antes de iterar, devemos verificar (e, se preciso, reordenar) para que o sistema seja estritamente diagonalmente dominante, garantindo convergência.
Passo 2
Verificamos a dominância linha a linha no sistema original:
linha 1: |1|<|1|+|{-3}|=4 (falha),
linha 2: |4|>|{-1}|+|\tfrac12|=1{,}5 (ok),
linha 3: |1|<|5|+|1|=6 (falha).
Para restabelecer dominância, reordenamos de modo que cada equação isole a incógnita cujo coeficiente na diagonal seja maior que a soma dos demais módulos:
– use a segunda equação para isolar x;
– use a terceira equação para isolar y;
– use a primeira equação para isolar z.
O sistema reescrito fica
\begin{cases} 4x - y + \tfrac12 z = \tfrac12,\\\ x + 5y + z = 8,\\\ x + y - 3z = 12. \end{cases}
Passo 3
Isolando cada incógnita, obtemos as fórmulas iterativas de Jacobi: