Utilize o método de Jacobi para obter uma solução aproximada para os sistemas abaixo (verifique o critério de convergência antes de aplicar o método, se necessário reordene as equações para satisfazer o critério de convergência). Faça iterações até que d_{i}=\max _{1 \leq k \leq n}\left|x_{k}^{(i)}-x_{k}^{(i-1)}\right|<0,01.
\left\{\begin{array}{l}x+y-3 z=12 \\\\ 4 x-y+\frac{1}{2} z=\frac{1}{2} \\\ x+5 y+z=8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Jacobi ao sistema
\begin{cases} x + y - 3z = 12,\\\\ 4x - y + \tfrac12 z = \tfrac12,\\\ x + 5y + z = 8, \end{cases}
com critério de parada
d_i = \max_{1\le k\le3}\bigl|x_k^{(i)} - x_k^{(i-1)}\bigr| < 0{,}01.
Antes de iterar, devemos verificar (e, se preciso, reordenar) para que o sistema seja estritamente diagonalmente dominante, garantindo convergência.

Passo 2

Verificamos a dominância linha a linha no sistema original:
linha 1: |1|<|1|+|{-3}|=4 (falha),
linha 2: |4|>|{-1}|+|\tfrac12|=1{,}5 (ok),
linha 3: |1|<|5|+|1|=6 (falha).
Para restabelecer dominância, reordenamos de modo que cada equação isole a incógnita cujo coeficiente na diagonal seja maior que a soma dos demais módulos:
– use a segunda equação para isolar x;
– use a terceira equação para isolar y;
– use a primeira equação para isolar z.
O sistema reescrito fica
\begin{cases} 4x - y + \tfrac12 z = \tfrac12,\\\ x + 5y + z = 8,\\\ x + y - 3z = 12. \end{cases}

Passo 3

Isolando cada incógnita, obtemos as fórmulas iterativas de Jacobi:
x^{(i+1)} = \frac{\tfrac12 + y^{(i)} - \tfrac12\,z^{(i)}}{4}, \quad y^{(i+1)} = \frac{8 - x^{(i)} - z^{(i)}}{5}, \quad z^{(i+1)} = \frac{x^{(i)} + y^{(i)} -12}{3}.
Escolhemos o chute inicial
(x^{(0)},y^{(0)},z^{(0)}) = (0,0,0).

Passo 4

Aplicando as fórmulas até atingir d_i<0{,}01, obtivemos a sequência abaixo (arredondada a 6 casas decimais):
\begin{array}{c|ccc|c} i & x^{(i)} & y^{(i)} & z^{(i)} & d_i \\\ \hline 1 & 0{,}125000 & 1{,}600000 & -4{,}000000 & 4{,}000000\\\\ 2 & 1{,}025000 & 2{,}375000 & -3{,}425000 & 0{,}900000\\\\ 3 & 1{,}146875 & 2{,}080000 & -2{,}866667 & 0{,}558333\\\\ 4 & 1{,}003333 & 1{,}943958 & -2{,}924375 & 0{,}143542\\\\ 5 & 0{,}976536 & 1{,}984208 & -3{,}017569 & 0{,}093194\\\\ 6 & 0{,}998248 & 2{,}008207 & -3{,}013085 & 0{,}023998\\\\ 7 & 1{,}003687 & 2{,}002967 & -2{,}997848 & 0{,}015237\\\\ 8 & 1{,}000473 & 1{,}998832 & -2{,}997782 & 0{,}004135 \end{array}

Passo 5

Na iteração i=8 temos d_8=0{,}004135<0{,}01, portanto atingimos o critério de parada.

Resposta

A solução aproximada pelo método de Jacobi (com d_i<0{,}01) é
x \approx 1{,}00047,\quad y \approx 1{,}99883,\quad z \approx -2{,}99778.

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