Determine as coordenadas retangulares dos pontos (lembrete: x=r \cos (\theta) e y=r \operatorname{sen}(\theta) ):
P_{5}\left(7, \frac{17 \pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto em coordenadas polares P_{5}(r,\theta) = \bigl(7,\frac{17\pi}{6}\bigr) e pede as coordenadas retangulares (x,y). Vamos usar as fórmulas
x = r\cos(\theta),
y = r\sin(\theta).

Passo 2

Observamos que
\frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6},
portanto os valores das funções trigonométricas são os mesmos de \frac{5\pi}{6}. Assim,
\cos\!\bigl(\tfrac{17\pi}{6}\bigr) = \cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr) = -\frac{\sqrt{3}}{2},
\sin\!\bigl(\tfrac{17\pi}{6}\bigr) = \sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{6}\bigr) = \frac{1}{2}.

Passo 3

Aplicando as fórmulas com r=7:
x = 7 \cos\!\bigl(\tfrac{17\pi}{6}\bigr) = 7 \cdot \Bigl(-\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr) = -\frac{7\sqrt{3}}{2},
y = 7 \sin\!\bigl(\tfrac{17\pi}{6}\bigr) = 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2}.

Resposta

As coordenadas retangulares são
\bigl(x,y\bigr) = \Bigl(-\tfrac{7\sqrt{3}}{2},\,\tfrac{7}{2}\Bigr).

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