Determine as coordenadas do vetor v que é paralelo ao vetor u=(-1,3) e tem módulo 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as coordenadas de um vetor v que é paralelo ao vetor u = (-1, 3) e que tem módulo (ou tamanho) igual a 2. Para isso, vamos precisar entender como vetores paralelos funcionam e como ajustar o tamanho de um vetor usando multiplicação por um escalar.

Passo 2

Primeiro, como v deve ser paralelo a u, isso significa que v pode ser obtido multiplicando u por um número real qualquer, que chamaremos de escalar k. Então, podemos escrever:
v = k cdot u = k cdot (-1, 3) = (-k, 3k)

Passo 3

Agora, precisamos que o módulo de v seja 2. O módulo de um vetor (a, b) é calculado usando a fórmula:
|v| = raiza^2 + b^2
Aplicando isso ao nosso vetor v = (-k, 3k), temos:
|v| = raiz(-k)^2 + (3k)^2 = raizk^2 + 9k^2 = raiz10k^2 = raiz10 cdot |k|
Queremos que |v| = 2, então:
raiz10 cdot |k| = 2

Passo 4

Resolvendo para |k|:
|k| = 2raiz10
Isso nos dá:
k = pm 2raiz10
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador:
k = pm 2raiz1010 = pm raiz105

Passo 5

Agora, substituímos os valores de k de volta na expressão de v:
v = ( -k, 3k ) = ( -raiz105, 3raiz105 ) ou ( raiz105, -3raiz105 )
Ambas as opções são válidas, pois apontam na mesma direção ou na direção oposta, mantendo a paralelidade com u.

Resposta

As coordenadas do vetor v são ( dfrac-raiz105, dfrac3raiz105 ) ou ( dfracraiz105, dfrac-3raiz105 ).

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