Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base B=(A F, A B).
E P

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor EP na base B=(AF,AB).
O conteúdo aqui é geometria vetorial em um paralelogramo: vamos colocar A na origem, usar vetores b=AB e d=AD, determinar as coordenadas de E, F e P, e depois achar os escalares que escrevem EP como combinação linear de AF e AB.

Passo 2

Definimos
AB= b,
AD= d.
Então
B=A+ b, D=A+ d, C=A+ b+ d
Como E e F são pontos médios de DC e BC, temos
E=D+tfrac12DC =A+ d+tfrac12 b,
F=B+tfrac12BC =A+ b+tfrac12 d

Passo 3

O ponto P é a intersecção da reta DF com a diagonal AC.
Parâmetros:
DF:;D+t(F-D)=A+ d+tl( b-tfrac12 dr)
AC:;A+s(C-A)=A+s( b+ d).
Na intersecção A+s( b+ d)=A+ d+t( b-tfrac12 d), igualando componentes:
s=t, s=1-tfrac t2 ;Longrightarrow; tfrac32t=1 ;Longrightarrow; t=s=tfrac23
Logo
P=A+tfrac23( b+ d)

Passo 4

Calculamos
EP =P-E =l(tfrac23 b+tfrac23 dr) -l(tfrac12 b+ dr) =l(tfrac23-tfrac12r) b +l(tfrac23-1r) d =tfrac16, b-tfrac13, d

Passo 5

Na base B=(AF,AB) temos
AF=F-A= b+tfrac12 d e
AB= b.
Procuramos alpha,beta tais que
EP =alpha,AF+beta,AB =alphal( b+tfrac12 dr)+beta, b =(alpha+beta) b+tfracalpha2 d
Comparando com tfrac16 b-tfrac13 d dá o sistema
alpha+beta=tfrac16, tfracalpha2=-tfrac13 ;Longrightarrow; alpha=-tfrac23, beta=tfrac16-(-tfrac23)=tfrac56

Resposta

As coordenadas de EP na base B são
[EP]B =l(-tfrac23,;tfrac56r)

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