Mostre que .
35. Mostre as seguintes leis do cancelamento da adição de vetores:
(a) u+x=u+y Rightarrow x=y;
(b) x+u=y+u Rightarrow x=y.
36. Mostre que u+v=w implica que u=w-v.
Passo 1
O enunciado pede para usar definições básicas de soma e subtração de vetores (isto é, vec a - vec b = vec a + (-vec b) e propriedades como associatividade, comutatividade e existência de inverso e vetor nulo) para demonstrar:
BC - BA = AC.
As leis de cancelamento da adição de vetores:
(a) vec u + vec x = vec u + vec y Rightarrow vec x = vec y.
(b) vec x + vec u = vec y + vec u Rightarrow vec x = vec y.
Que vec u + vec v = vec w implica vec u = vec w - vec v.
Passo 2
Usamos a definição de subtração e depois agrupamos:
BC = C - B, BA = A - B
Logo,
BC - BA = (C - B) - (A - B) = (C - B) + (B - A)
Pela associatividade e comutatividade,
(C - B) + (B - A) = C + l(-B + Br) - A = C + 0 - A = C - A = AC
Passo 3
(a) Começamos com
vec u + vec x = vec u + vec y
Somamos o inverso de vec u em ambos os lados:
(-vec u) + (vec u + vec x) = (-vec u) + (vec u + vec y)
Pela associatividade e porque -vec u + vec u = vec 0, segue
(vec 0 + vec x) = (vec 0 + vec y) ;Longrightarrow; vec x = vec y
Passo 4
(b) Partindo de
vec x + vec u = vec y + vec u,
somamos -vec u à direita de cada membro:
(vec x + vec u) + (-vec u) = (vec y + vec u) + (-vec u)
Pela associatividade e porque vec u + (-vec u)=vec 0, vem
vec x + vec 0 = vec y + vec 0 ;Longrightarrow; vec x = vec y
Passo 5
Para vec u + vec v = vec w, somamos -vec v em ambos os lados:
(vec u + vec v) + (-vec v) = vec w + (-vec v)
Como vec v + (-vec v)=vec 0, temos
vec u + vec 0 = vec w - vec v ;Longrightarrow; vec u = vec w - vec v
Resposta
BC - BA = AC.
(a) vec u + vec x = vec u + vec y Rightarrow vec x = vec y.
(b) vec x + vec u = vec y + vec u Rightarrow vec x = vec y. vec u + vec v = vec w implica vec u = vec w - vec v.