Determine a corrente em um circuito com \mathrm{V}=120 \mathrm{~V} e XC =20 \Omega.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede a corrente no circuito:
  • Tensão: \mathrm{V}=120\\ \mathrm{V}.
  • Reatância capacitiva: X_{C}=20\\ \Omega.
    O que se pede: determinar a corrente (valor eficaz e, se for útil, o fasor da corrente).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Em circuitos AC senoidais, a lei de Ohm generalizada usa impedância Z. Para um circuito puramente capacitivo a impedância é
Z = -\,j\,X_{C},
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1) e X_{C} é a reatância capacitiva (em \Omega).
  • A relação entre a tensão eficaz (RMS) \mathrm{V} e a corrente eficaz (RMS) \mathrm{I} em termos de impedância é
I = \frac{V}{|Z|},
quando precisamos do valor eficaz (magnitude). Mais geralmente, em forma fasorial:
\underline{I}=\frac{\underline{V}}{Z}.
Aqui: \underline{V} e \underline{I} são fasores (tensão e corrente complexas); em muitos problemas práticos \underline{V}=V\angle 0^\circ se tomarmos a tensão como referência.
  • Observação importante: o módulo da impedância de um capacitor é |Z|=X_{C} (porque |-jX_C|=X_C). Assim o valor eficaz da corrente é simplesmente \dfrac{V}{X_C}.

Passo 3

Aplicando a fórmula do módulo (valores eficazes):
I_{\mathrm{rms}}=\frac{V}{X_{C}}.
Substituindo os números fornecidos:
I_{\mathrm{rms}}=\frac{120}{20}.

Passo 4

Realizando a divisão (mostrando passo a passo):
\frac{120}{20}=\frac{120\div 20}{1}=6.
Portanto o valor eficaz da corrente é \;6\;\mathrm{A}.

Passo 5

Se quiser o fasor (direção de fase): tomar \underline{V}=120\angle 0^\circ e Z=-j20. Então
\underline{I}=\frac{120\angle 0^\circ}{-j20}=\frac{120}{20}\cdot\frac{1}{-j}=6\cdot j=6\angle 90^\circ.
Isto significa que, em um capacitor ideal, a corrente está adiantada em 90^\circ em relação à tensão. Em outras palavras: magnitude \;6\\ \mathrm{A} e fase +90^\circ.

Passo 6

Se for útil escrever a corrente instantânea (assumindo tensão senoidal e que \mathrm{V}=120\\ \mathrm{V} é o RMS): \;V_{m}=120\sqrt{2} é a amplitude da tensão e I_{m}=V_{m}/X_C é a amplitude da corrente. Numericamente,
V_{m}=120\sqrt{2}\approx169{,}71\\ \mathrm{V}, \qquad I_{m}=\frac{169{,}71}{20}\approx8{,}485\\ \mathrm{A}.
Assim, se v(t)=V_{m}\cos(\omega t), então
i(t)=I_{m}\cos\bigl(\omega t+90^\circ\bigr)\approx8{,}485\cos\bigl(\omega t+90^\circ\bigr)\\ \mathrm{A},
ou, usando seno, i(t)\approx8{,}485\sin(\omega t)\\ \mathrm{A}.

Resposta

I_{\mathrm{rms}}=6\\ \mathrm{A}
\underline{I}=6\angle 90^\circ\\ \mathrm{A}

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