Determine os cossenos diretores de \mathbf{v} e confirme que eles satisfazem a Equação (5). Então, use os cossenos diretores para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
\mathbf{v}=2 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) determinar os cossenos diretores de \mathbf{v} e confirmar que eles satisfazem a Equação (5); (ii) usar esses cossenos para aproximar os ângulos diretores (ângulos que \mathbf{v} faz com os eixos coordenados) até o grau mais próximo.
As informações fornecidas são as componentes do vetor:
\mathbf{v}=2\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k},
ou seja, as componentes são v_x=2, v_y=-2 e v_z=1.

Passo 2

O que são cossenos diretores? Vou explicar devagar: cada cosseno diretor é o cosseno do ângulo entre o vetor \mathbf{v} e um dos eixos coordenados. Se chamarmos esses ângulos de \alpha (com o eixo x), \beta (com o eixo y) e \gamma (com o eixo z), então os cossenos diretores são
\cos\alpha,\qquad \cos\beta,\qquad \cos\gamma.
Uma forma prática de calcular cada um é dividir a componente correspondente do vetor pelo comprimento (módulo) do vetor. Em notação, se \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) e \|\mathbf{v}\| é o módulo, então
\text{cossenos diretores }(l,m,n)=\left(\frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|},\;\frac{v_y}{\|\mathbf{v}\|},\;\frac{v_z}{\|\mathbf{v}\|}\right).
Por que isso funciona? Geometricamente, a projeção do vetor \mathbf{v} na direção do eixo x tem comprimento v_x quando se usa o sistema canônico; o ângulo \alpha satisfaz \cos\alpha=\dfrac{\text{projeção sobre }x}{\|\mathbf{v}\|}=\dfrac{v_x}{\|\mathbf{v}\|}çã. Equivalentemente, via produto escalar: \cos\alpha=\dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{e}_x}{\|\mathbf{v}\|} com \mathbf{e}_x=(1,0,0), o que dá \dfrac{v_x}{\|\mathbf{v}\|}.

Passo 3

Primeiro calculemos o módulo de \mathbf{v}. Use a fórmula do módulo de um vetor em \mathbb{R}^3:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Substituindo v_x=2, v_y=-2, v_z=1:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Agora dividimos cada componente pelo módulo para obter os cossenos diretores. Calculando um a um:
\cos\alpha=\frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{2}{3}, \qquad \cos\beta=\frac{v_y}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{-2}{3}, \qquad \cos\gamma=\frac{v_z}{\|\mathbf{v}\|}=\frac{1}{3}.
Observação sobre o sinal: \cos\beta ficou negativo porque a componente v_y é negativa, isto é, o vetor tem projeção no sentido negativo do eixo y, logo o ângulo \beta é obtuso (> 90^\circ).

Passo 5

A Equação (5) que temos de confirmar é a relação clássica entre os cossenos diretores:
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1.
Vamos verificar com os valores encontrados:
\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{-2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2} =\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{9}{9}=1.
Portanto a Equação (5) é satisfeita.

Passo 6

Agora vamos obter os ângulos diretores \alpha,\beta,\gamma. A relação é simples:
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\cos\alpha\right),\qquad \beta=\operatorname{arccos}\!\left(\cos\beta\right),\qquad \gamma=\operatorname{arccos}\!\left(\cos\gamma\right).
Em graus, usa-se a conversão \text{graus}=\dfrac{180}{\pi}\times (valor em radianos). Aqui é preciso calcular valores de \operatorname{arccos} numericamente (normalmente com calculadora). Vou fornecer os valores aproximados e depois arredondar ao grau mais próximo.
Calcule:
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx 48{,}189685^\circ\approx 48^\circ,
\beta=\operatorname{arccos}\!\left(-\tfrac{2}{3}\right)\approx 131{,}810315^\circ\approx 132^\circ,
\gamma=\operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx 70{,}528779^\circ\approx 71^\circ.
Se quiser repetir no seu celular ou calculadora: digite \operatorname{arccos}(0,6666667), \operatorname{arccos}(-0,6666667) e \operatorname{arccos}(0,3333333) e arredonde os resultados.

Resposta

\displaystyle \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{1}{3}\right)
\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(-\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2=1
\displaystyle \alpha\approx48^\circ,\\ \beta\approx132^\circ,\\ \gamma\approx71^\circ

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