Determine os cossenos diretores de
e confirme que eles satisfazem a Equação (5). Então, use os cossenos diretores para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) determinar os cossenos diretores de
e confirmar que eles satisfazem a Equação (5); (ii) usar esses cossenos para aproximar os ângulos diretores (ângulos que
faz com os eixos coordenados) até o grau mais próximo.
As informações fornecidas são as componentes do vetor:
As informações fornecidas são as componentes do vetor:
ou seja, as componentes são
,
e
.
Passo 2
O que são cossenos diretores? Vou explicar devagar: cada cosseno diretor é o cosseno do ângulo entre o vetor
e um dos eixos coordenados. Se chamarmos esses ângulos de
(com o eixo
),
(com o eixo
) e
(com o eixo
), então os cossenos diretores são
Uma forma prática de calcular cada um é dividir a componente correspondente do vetor pelo comprimento (módulo) do vetor. Em notação, se
e
é o módulo, então
Por que isso funciona? Geometricamente, a projeção do vetor
na direção do eixo
tem comprimento
quando se usa o sistema canônico; o ângulo
satisfaz
. Equivalentemente, via produto escalar:
com
, o que dá
.
Passo 3
Primeiro calculemos o módulo de
. Use a fórmula do módulo de um vetor em
:
Substituindo
,
,
:
Passo 4
Agora dividimos cada componente pelo módulo para obter os cossenos diretores. Calculando um a um:
Observação sobre o sinal:
ficou negativo porque a componente
é negativa, isto é, o vetor tem projeção no sentido negativo do eixo
, logo o ângulo
é obtuso (>
).
Passo 5
A Equação (5) que temos de confirmar é a relação clássica entre os cossenos diretores:
Vamos verificar com os valores encontrados:
Portanto a Equação (5) é satisfeita.
Passo 6
Agora vamos obter os ângulos diretores
. A relação é simples:
Em graus, usa-se a conversão
(valor em radianos). Aqui é preciso calcular valores de
numericamente (normalmente com calculadora). Vou fornecer os valores aproximados e depois arredondar ao grau mais próximo.
Calcule:
Se quiser repetir no seu celular ou calculadora: digite
,
e
e arredonde os resultados.