Determine os cossenos diretores de \mathbf{v} e confirme que eles satisfazem a Equação (5). Então, use os cossenos diretores para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
\mathbf{v}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}-6 \mathbf{k}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O enunciado pede:
    1. Determinar os cossenos diretores de \mathbf{v}.
    2. Confirmar que esses cossenos satisfazem a Equação (5).
    3. Usar os cossenos diretores para aproximar os ângulos diretores até o grau mais próximo.
  • Informações fornecidas:
    • \mathbf{v}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}-6\mathbf{k}.
    • Portanto os componentes são \,v_x=3\,,\;v_y=-2\,,\;v_z=-6\,.

Passo 2

Calcular o comprimento (norma) de \mathbf{v}.
  • Definição: a norma de um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
  • Aplicando aos componentes dados:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{9+4+36}=\sqrt{49}=7.

Passo 3

Determinar os cossenos diretores. Explicação e fórmula.
  • Definição prática: o cosseno diretor em relação ao eixo x (ângulo \alpha) é
\cos\alpha=\frac{\text{projeção de }\mathbf{v}\text{ sobre }x}{\|\mathbf{v}\|}.çã
Uma forma mais direta, usando produto escalar com o vetor unitário \mathbf{i}=(1,0,0), é
\cos\alpha=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{i}}{\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{i}\|}=\frac{v_x}{\|\mathbf{v}\|}.
Analogamente,
\cos\beta=\frac{v_y}{\|\mathbf{v}\|},\qquad \cos\gamma=\frac{v_z}{\|\mathbf{v}\|},
onde \beta é o ângulo com o eixo y e \gamma com o eixo z.
  • Substituindo \|\mathbf{v}\|=7 e os componentes:
\cos\alpha=\frac{3}{7},\qquad \cos\beta=\frac{-2}{7},\qquad \cos\gamma=\frac{-6}{7}.
Esses são os cossenos diretores pedidos.

Passo 4

Confirmar que os cossenos diretores satisfezem a Equação (5).
  • A Equação (5) que deve ser confirmada é
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1.
  • Calcular o lado esquerdo com os valores encontrados:
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma =\left(\frac{3}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-2}{7}\right)^{2}+\left(\frac{-6}{7}\right)^{2} =\frac{9+4+36}{49}=\frac{49}{49}=1.
  • Conclusão: os cossenos diretores satisfazem exatamente a Equação (5).

Passo 5

Determinar os ângulos diretores e arredondar ao grau mais próximo. Método e cálculo.
  • Método: para obter o ângulo \theta correspondente a um cosseno c, usa-se \theta=\operatorname{arccos}\text{(c)}. Os ângulos diretores ficam no intervalo 0^\circ a 180^\circ.
  • Aplicando aos cossenos:
\alpha=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3}{7}\right),\qquad \beta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-2}{7}\right),\qquad \gamma=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{-6}{7}\right).
  • Aproximações numéricas (valores calculados e arredondados):
\alpha\approx64{,}62^\circ\approx65^\circ, \qquad \beta\approx106{,}59^\circ\approx107^\circ, \qquad \gamma\approx149{,}04^\circ\approx149^\circ.
  • Observação útil: sinais negativos dos cossenos indicam ângulos obtusos (maiores que 90^\circ), como se vê para \beta e \gamma.

Resposta

\displaystyle \cos\alpha=\frac{3}{7},\quad \cos\beta=\frac{-2}{7},\quad \cos\gamma=\frac{-6}{7}
\displaystyle \alpha\approx65^\circ,\quad \beta\approx107^\circ,\quad \gamma\approx149^\circ

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