Mostre que para todo n \geq 1,8 \mid 3^{2 n}-1 (sugestão: use PIM).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\ge1, vale a divisibilidade
8\mid 3^{2n}-1.
O método sugerido é o Princípio de Indução Matemática (PIM).

Passo 2

Passo base n=1. Calculamos
3^{2\cdot1}-1=3^2-1=9-1=8,
e 8 é múltiplo de 8. Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que, para algum k\ge1, tenhamos
8\mid 3^{2k}-1,
ou seja, existe inteiro m tal que
3^{2k}-1=8m.
Vamos mostrar que daí resulta 8\mid 3^{2(k+1)}-1.

Passo 4

Calculemos
3^{2(k+1)}-1 =3^{2k+2}-1 =3^2\cdot 3^{2k}-1 =9\cdot 3^{2k}-1.
Reescrevendo,
9\cdot 3^{2k}-1 =9\bigl(3^{2k}-1\bigr)+9-1 =9\bigl(3^{2k}-1\bigr)+8.

Passo 5

Pela hipótese indutiva 3^{2k}-1=8m, temos
9\bigl(3^{2k}-1\bigr)+8 =9\cdot(8m)+8 =8\bigl(9m+1\bigr),
ou seja, 8\mid 3^{2(k+1)}-1.

Passo 6

Pela base e pelo passo indutivo, o Princípio de Indução Matemática garante que 8\mid 3^{2n}-1 para todo n\ge1.

Resposta

Para todo n\ge1, 8 divide 3^{2n}-1.

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