Mostre que para todo
(sugestão: use PIM).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
, vale a divisibilidade
O método sugerido é o Princípio de Indução Matemática (PIM).
Passo 2
Passo base
. Calculamos
e
é múltiplo de
. Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
Passo indutivo. Suponha que, para algum
, tenhamos
ou seja, existe inteiro
tal que
Vamos mostrar que daí resulta
.
Passo 4
Calculemos
Reescrevendo,
Passo 5
Pela hipótese indutiva
, temos
ou seja,
.
Passo 6
Pela base e pelo passo indutivo, o Princípio de Indução Matemática garante que
para todo
.
Resposta
Para todo
,
divide
.