Determine a curva que passa pelo ponto
no plano
e que tem em todos os seus pontos a inclinação
.
Passo 1
O enunciado pede determinar a curva que passa pelo ponto
no plano
e que em cada ponto tem inclinação
. Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável.
Passo 2
Escrevemos a equação diferencial
Como é separável, colocamos todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro:
Passo 3
Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Usamos propriedade de logaritmos para combinar:
Exponentiando,
onde
é constante real não nula. Assim, a solução geral é
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
Portanto, a curva procurada satisfaz
ou, equivalentemente,
Resposta
A curva é a hipérbole retangular dada por
(ou seja,
).