Determine a curva que passa pelo ponto (1,1) no plano x y e que tem em todos os seus pontos a inclinação -\frac{y}{x}.

Passo 1

O enunciado pede determinar a curva que passa pelo ponto (1,1) no plano xy e que em cada ponto tem inclinação -\frac{y}{x}. Isso é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, separável.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}.
Como é separável, colocamos todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro:
\frac{1}{y}\,dy = -\frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -\frac{1}{x}\,dx
\ln\lvert y\rvert = -\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos propriedade de logaritmos para combinar:
\ln\lvert y\rvert + \ln\lvert x\rvert = C \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert x\,y\rvert = C.
Exponentiando,
\lvert x\,y\rvert = e^{C} = K,
onde K é constante real não nula. Assim, a solução geral é
x\,y = K.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial (x,y)=(1,1):
1\cdot 1 = K \quad\Longrightarrow\quad K = 1.
Portanto, a curva procurada satisfaz
x\,y = 1,
ou, equivalentemente,
y = \frac{1}{x}.

Resposta

A curva é a hipérbole retangular dada por \displaystyle x\,y = 1 (ou seja, y = 1/x).

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