Resolva os problemas de valor inicial
(l) \left\{\begin{array}{l}y d x+\left(y \cos \left(\frac{x}{y}\right)-x\right) d y=0 \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y\,dx + \bigl(y\cos\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)-x\bigr)\,dy = 0, \quad y(0)=2
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem, não exata à primeira vista, mas homogênea em x e y. Vamos usar a substituição
u = \frac{x}{y}
para reduzir a ordem.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma \tfrac{dy}{dx}. Dividindo tudo por dx e isolando dy/dx, temos
y + \bigl(y\cos(u)-x\bigr)\frac{dy}{dx} = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{\,y\cos(u)-x\,} = -\frac{y}{\,y\bigl(\cos(u)-u\bigr)\,} = -\frac{1}{\cos(u)-u}.

Passo 3

Como u = x/y, então y = x/u e
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{u}\Bigr) = \frac{u - x\,\frac{du}{dx}}{u^2}.
Igualando às duas expressões de \,dy/dx,
\frac{u - x\,\frac{du}{dx}}{u^2} = -\frac{1}{\cos(u)-u} \;\Longrightarrow\; x\,\frac{du}{dx} = \frac{u\cos(u)}{\cos(u)-u}.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{\cos(u)-u}{u\cos(u)}\,du = \frac{dx}{x}.
Observe que
\frac{\cos(u)-u}{u\cos(u)} = \frac{1}{u} - \frac{1}{\cos(u)},
logo
\int\Bigl(\frac{1}{u}-\operatorname{sec}(u)\Bigr)du = \int\frac{dx}{x}.
Calculando as integrais,
\int\frac{1}{u}du = \ln|u|,\quad \int\operatorname{sec}(u)du = \ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr|,
portanto
\ln|u| - \ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| = \ln|x| + C.
Isso dá, em forma implícita,
\frac{u}{\operatorname{sec}(u)+\tan(u)} = C\,x.

Passo 5

Voltando a u = x/y, obtemos
\frac{\tfrac{x}{y}}{\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)+\tan\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)} = C\,x \;\Longrightarrow\; y\bigl(\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)+\tan\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\bigr) = \frac{1}{C}.
Usando y(0)=2, em x=0 temos \tfrac{x}{y}=0, logo \operatorname{sec}(0)+\tan(0)=1 e
2\cdot 1 = \frac{1}{C} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{C} = 2.
Assim a solução implícita final é

Resposta

y\bigl(\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)+\tan\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\bigr) = 2.

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