Calcule o limite a seguir (justificando os passos cuidadosamente)
\lim _{x \rightarrow 3^{+}}(x-3)^{6} \cos \left(\frac{1}{\sqrt{x-3}}\right)
Insira aqui o valor L do limite acima: L= \square
Na resposta utilize
  • o valor do número real L caso o limite exista,
  • o valor ’ \mathbf{1 0 0 0} ’ se o limite for +\infty.
  • o valor ‘-1000’ (note o sinal de menos) se o limite for -\infty,
  • o valor ‘9999’ se o limite năo existir e năo for \infty ou -\infty.

ATENÇÃO: Exceto no caso de inteiros, insira os valores no seguinte formato decimal por exemplo 12.3456 ou 0.0654321 e portanto escreva

  • 0.0166666 para representar " 5 / 300 "
  • ou 13.07976 para representar 2 \ln (10)+3 \pi\left(9-e^{2}\right)-3 \sqrt{5}=13.0797548283 \ldots (que pode ser obtido escrevendo (sem aspas) " 2^{*} \ln (10)+3^{*} pi*(9 \exp (2))-3^{*} sqrt(5) " diretamente no Google por exemplo)
A sugestăo é que você use 6 ou mais dígitos significativos: \mathbf{0 . 0 1 6 6 6 6 6} ou \mathbf{1 3 . 0 7 9 7 6}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to3^{+}}(x-3)^{6}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{x-3}}\bigr).
Aqui temos um fator (x-3)^{6} que tende a zero e um cosseno oscilante mas limitado em [-1,1]. Vamos aplicar o Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x-3,
de modo que quando x\to3^{+} temos t\to0^{+}. A expressão do limite torna-se
\lim_{t\to0^{+}}t^{6}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{t}}\bigr).

Passo 3

Como para todo t>0 vale
-1 \le \cos\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{t}}\bigr)\le 1,
multiplicando por t^{6}\ge0 obtemos
-t^{6}\le t^{6}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{t}}\bigr)\le t^{6}.
Mas
\lim_{t\to0^{+}}(-t^{6})=0 \quad\text{e}\quad \lim_{t\to0^{+}}t^{6}=0.
Pelo Teorema do Confronto,
\lim_{t\to0^{+}}t^{6}\cos\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{t}}\bigr)=0.

Resposta

L = 0

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