(2,5) Determine a curvatura da curva \vec{r}(t)=\left(2 \cos t, 2 \operatorname{sen} t, e^{t}\right).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica tridimensional
\vec{r}(t)=\left(2\cos t,\;2\operatorname{sen} t,\;e^{t}\right)
e pede: determinar a curvatura da curva, isto é, encontrar \kappa(t) em função de t.
Informações relevantes que temos:
\text{Componentes de }\vec{r}(t):\quad x(t)=2\cos t,\; y(t)=2\operatorname{sen} t,\; z(t)=e^{t}.
\text{Queremos a curvatura } \kappa(t)\text{ para a curva espacial dada.}

Passo 2

Fórmula que vamos usar (expliquei por que): para uma curva espacial diferenciável com derivadas até segunda ordem, a curvatura \kappa(t) pode ser calculada por
\kappa(t)=\frac{\|\vec{r}\,'(t)\times\vec{r}\,''(t)\|}{\|\vec{r}\,'(t)\|^{3}}.
O que cada termo significa:
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada de \vec{r}, chamada vetor velocidade (componentes: derivadas das componentes de \vec{r}).
  • \vec{r}\,''(t) é a derivada segunda, vetor aceleração.
  • \times é o produto vetorial (cross product); o módulo \|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\| mede quanto \vec{r}\,' e \vec{r}\,'' são não-colineares — se forem colineares a curvatura é zero.
  • \|\cdot\| é a norma euclidiana (comprimento) do vetor.
    Vou então calcular \vec{r}\,'(t), \vec{r}\,''(t), o produto vetorial, as normas e inserir na fórmula.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) componente a componente. Derivadas básicas usadas: \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \dfrac{d}{dt}\operatorname{sen} t=\cos t, \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
\vec{r}\,'(t)=\left(\dfrac{d}{dt}(2\cos t),\;\dfrac{d}{dt}(2\operatorname{sen} t),\;\dfrac{d}{dt}e^{t}\right) =\left(-2\operatorname{sen} t,\;2\cos t,\;e^{t}\right).

Passo 4

Calcular \vec{r}\,''(t) derivando novamente componente a componente:
\vec{r}\,''(t)=\left(\dfrac{d}{dt}(-2\operatorname{sen} t),\;\dfrac{d}{dt}(2\cos t),\;\dfrac{d}{dt}e^{t}\right) =\left(-2\cos t,\;-2\operatorname{sen} t,\;e^{t}\right).

Passo 5

Calcular o produto vetorial \vec{r}\,'(t)\times\vec{r}\,''(t). Usamos a determinante padrão:
\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -2\operatorname{sen} t & 2\cos t & e^{t} \\\\ -2\cos t & -2\operatorname{sen} t & e^{t} \end{vmatrix}.
Calculando cada componente:
  • Componente \mathbf{i}:
(2\cos t)(e^{t}) - (e^{t})(-2\operatorname{sen} t)=e^{t}(2\cos t+2\operatorname{sen} t)=2e^{t}(\cos t+\operatorname{sen} t).
  • Componente \mathbf{j} (lembrar do sinal negativo ao desenvolver):
- \big( (-2\operatorname{sen} t)(e^{t}) - (e^{t})(-2\cos t)\big) = -\big(e^{t}(-2\operatorname{sen} t+2\cos t)\big) = -2e^{t}(\cos t-\operatorname{sen} t).
  • Componente \mathbf{k}:
(-2\operatorname{sen} t)(-2\operatorname{sen} t) - (2\cos t)(-2\cos t) =4\operatorname{sen}^{2}t +4\cos^{2}t =4(\operatorname{sen}^{2}t+\cos^{2}t)=4.
Portanto
\vec{r}\,'(t)\times\vec{r}\,''(t)=\left(2e^{t}(\cos t+\operatorname{sen} t),\;-2e^{t}(\cos t-\operatorname{sen} t),\;4\right).

Passo 6

Calcular a norma \|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\|. Primeiro quadrado da norma (soma dos quadrados das componentes):
\begin{aligned} \|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\|^{2} &=\big(2e^{t}(\cos t+\operatorname{sen} t)\big)^{2} +\big(-2e^{t}(\cos t-\operatorname{sen} t)\big)^{2}+4^{2}\\[4pt] &=4e^{2t}(\cos t+\operatorname{sen} t)^{2}+4e^{2t}(\cos t-\operatorname{sen} t)^{2}+16. \end{aligned}
Usamos a identidade (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2}). Aplicando com a=\cos t e b=\operatorname{sen} t:
(\cos t+\operatorname{sen} t)^{2}+(\cos t-\operatorname{sen} t)^{2}=2(\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t)=2.
Logo
\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\|^{2}=4e^{2t}\cdot 2 +16 =8e^{2t}+16.
Portanto a norma é
\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\|=\sqrt{8e^{2t}+16}.
Podemos também escrever isso como
\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\|=2\sqrt{2}\,\sqrt{e^{2t}+2}.]

Passo 7

Calcular a norma \|\vec{r}\,'(t)\|. Soma dos quadrados das componentes de \vec{r}\,':
\|\vec{r}\,'(t)\|^{2}=(-2\operatorname{sen} t)^{2}+(2\cos t)^{2}+(e^{t})^{2}=4\operatorname{sen}^{2}t+4\cos^{2}t+e^{2t}=4+e^{2t}.
Assim
\|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{e^{2t}+4}.

Passo 8

Aplicar a fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\|}{\|\vec{r}\,'\|^{3}} =\frac{\sqrt{8e^{2t}+16}}{\big(\sqrt{e^{2t}+4}\big)^{3}} =\frac{\sqrt{8e^{2t}+16}}{(e^{2t}+4)^{3/2}}.
Podemos usar a forma simplificada obtida no Passo 6:
\kappa(t)=\frac{2\sqrt{2}\,\sqrt{e^{2t}+2}}{(e^{2t}+4)^{3/2}}.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{\sqrt{8e^{2t}+16}}{(e^{2t}+4)^{3/2}}=\frac{2\sqrt{2}\,\sqrt{e^{2t}+2}}{(e^{2t}+4)^{3/2}}

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