e pede: determinar a curvatura da curva, isto é, encontrar \kappa(t) em função de t.
Informações relevantes que temos:
\text{Componentes de }\vec{r}(t):\quad x(t)=2\cos t,\; y(t)=2\operatorname{sen} t,\; z(t)=e^{t}.
\text{Queremos a curvatura } \kappa(t)\text{ para a curva espacial dada.}
Passo 2
Fórmula que vamos usar (expliquei por que): para uma curva espacial diferenciável com derivadas até segunda ordem, a curvatura \kappa(t) pode ser calculada por
\vec{r}\,'(t) é a derivada de \vec{r}, chamada vetor velocidade (componentes: derivadas das componentes de \vec{r}).
\vec{r}\,''(t) é a derivada segunda, vetor aceleração.
\times é o produto vetorial (cross product); o módulo \|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\| mede quanto \vec{r}\,' e \vec{r}\,'' são não-colineares — se forem colineares a curvatura é zero.
\|\cdot\| é a norma euclidiana (comprimento) do vetor.
Vou então calcular \vec{r}\,'(t), \vec{r}\,''(t), o produto vetorial, as normas e inserir na fórmula.