(2,5) Verifique se a curva \vec{r}(t)=\left(t,-t^{2}-t+1, t^{2}\right) é plana. Em caso afirmativo, determine o plano que a contêm.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\vec{r}(t)=\big(t,\;-t^{2}-t+1,\;t^{2}\big)
e pede duas coisas: verificar se a curva é plana e, em caso afirmativo, determinar o plano que a contém. As informações relevantes são as coordenadas em função de t:
x(t)=t,\quad y(t)=-t^{2}-t+1,\quad z(t)=t^{2}.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): uma curva no espaço é plana se todos os seus pontos satisfazem uma mesma equação linear entre x,y,z (ou seja, existe uma relação do tipo ax+by+cz+d=0 válida para todo t). Vou tentar eliminar o parâmetro t e ver se aparece uma relação linear entre x,y,z. Primeiro faço a substituição direta usando x(t)=t e z(t)=t^{2}. Assim posso reescrever y(t) em termos de x e z.

Passo 3

Substituindo t=x e t^{2}=z na expressão de y obtemos:
y=-t^{2}-t+1 = -z - x +1.
Agora organizo isso para evidenciar uma relação linear entre x,y,z:
x+y+z = x + (-z - x +1) + z = 1.
Portanto todos os pontos da curva satisfazem a mesma equação linear:
x+y+z=1.

Passo 4

Interpretação geométrica e verificação extra (didática): uma equação do tipo x+y+z=1 define um plano no espaço. O vetor normal a esse plano é
\vec{n}=(1,1,1),
pois a equação do plano pode ser escrita em forma escalar como \vec{n}\cdot(x,y,z)=1. Para ter mais confiança, posso também verificar que todas as direções tangentes da curva estão contidas nesse plano: calculemos a derivada
\vec{r}\,'(t)=\big(1,\;-2t-1,\;2t\big).
O produto escalar com \vec{n}
\vec{n}\cdot\vec{r}\,'(t)=1+(-2t-1)+2t=0,
ou seja, cada vetor tangente é ortogonal a \vec{n} e portanto tangente ao plano x+y+z=1. Isso confirma, por outro caminho, que a curva fica inteira dentro desse plano.

Passo 5

Exemplo-concreto de ponto no plano (para fixar): tomando t=0 obtemos o ponto \vec{r}(0)=(0,1,0). Ele satisfaz a equação do plano porque 0+1+0=1. Como todo ponto da curva satisfaz x+y+z=1, a curva está contida no plano indicado.

Resposta

A curva é plana e pertence ao plano x+y+z=1.

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