(2,5) Verifique se a curva
é plana. Em caso afirmativo, determine o plano que a contêm.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede duas coisas: verificar se a curva é plana e, em caso afirmativo, determinar o plano que a contém. As informações relevantes são as coordenadas em função de
:
Passo 2
Estratégia (explicação didática): uma curva no espaço é plana se todos os seus pontos satisfazem uma mesma equação linear entre
(ou seja, existe uma relação do tipo
válida para todo
). Vou tentar eliminar o parâmetro
e ver se aparece uma relação linear entre
. Primeiro faço a substituição direta usando
e
. Assim posso reescrever
em termos de
e
.
Passo 3
Substituindo
e
na expressão de
obtemos:
Agora organizo isso para evidenciar uma relação linear entre
:
Portanto todos os pontos da curva satisfazem a mesma equação linear:
Passo 4
Interpretação geométrica e verificação extra (didática): uma equação do tipo
define um plano no espaço. O vetor normal a esse plano é
pois a equação do plano pode ser escrita em forma escalar como
. Para ter mais confiança, posso também verificar que todas as direções tangentes da curva estão contidas nesse plano: calculemos a derivada
O produto escalar com
dá
ou seja, cada vetor tangente é ortogonal a
e portanto tangente ao plano
. Isso confirma, por outro caminho, que a curva fica inteira dentro desse plano.
Passo 5
Exemplo-concreto de ponto no plano (para fixar): tomando
obtemos o ponto
. Ele satisfaz a equação do plano porque
. Como todo ponto da curva satisfaz
, a curva está contida no plano indicado.
Resposta
A curva é plana e pertence ao plano
.