Encontre a solução geral da EDO
, sabendo que
é uma das soluções.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
e informa que
é uma das soluções. A pergunta é: encontrar a solução geral
dessa EDO. Informação relevante fornecida:
Passo 2
Escolha do método (explicação didática curta): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos o polinômio característico. A ideia básica é procurar soluções da forma
. Substituindo nessa forma na EDO obtém-se um polinômio em
— o polinômio característico — cujas raízes correspondem aos expoentes das soluções exponenciais. Vamos aplicar isso à EDO dada.
Passo 3
Formamos o polinômio característico associando
e substituindo
:
Como nos deram a solução
, isso significa que
é raiz do polinômio característico (pois
). Vamos usar essa informação para fatorar o polinômio.
Passo 4
Fatoração do polinômio pelo método de divisão sintética / divisão por
. Coeficientes:
. Fazendo a divisão por
com
:
- Trago o
. - Multiplico
; somo com e obtenho . - Multiplico
; somo com e obtenho . - Multiplico
; somo com e obtenho (resto zero, confirmado que é raiz).
O quociente é
. Portanto
Agora fatoramos a quadrática:
Assim obtemos a fatoração completa
Passo 5
Interpretação das raízes: as raízes do polinômio característico são
com multiplicidade
e
com multiplicidade
.
Teorema (explicado): para coeficientes constantes,
Teorema (explicado): para coeficientes constantes,
- se
é raiz simples (multiplicidade ), então é solução; - se
é raiz de multiplicidade , então as funções
são soluções linearmente independentes associadas a essa raiz.
Justificação rápida e intuitiva: escrevemos com
o polinômio característico; avaliando
. Se
então
é solução. Se
é raiz de multiplicidade maior, derivando a identidade em
e avaliando, obtém-se que
também anula
quando
, e assim por diante — resultando nas potências de
até
.
Justificação rápida e intuitiva: escrevemos
Passo 6
Aplicando o teorema ao caso concreto: raiz
com multiplicidade
gera as duas soluções
Raiz
gera a solução
Essas três soluções são linearmente independentes e formam uma base do espaço das soluções da EDO de terceira ordem. Portanto a solução geral é combinação linear delas.