Encontre a solução geral da EDO y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}-2 y=0, sabendo que y_{1}(x)=e^{x} é uma das soluções.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y^{\prime\prime\prime}-4y^{\prime\prime}+5y^{\prime}-2y=0
e informa que \,y_{1}(x)=e^{x}\, é uma das soluções. A pergunta é: encontrar a solução geral y(x) dessa EDO. Informação relevante fornecida:
\text{EDO: }y^{\prime\prime\prime}-4y^{\prime\prime}+5y^{\prime}-2y=0,\qquad y_{1}(x)=e^{x}.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática curta): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos o polinômio característico. A ideia básica é procurar soluções da forma \,y=e^{rx}\,. Substituindo nessa forma na EDO obtém-se um polinômio em r — o polinômio característico — cujas raízes correspondem aos expoentes das soluções exponenciais. Vamos aplicar isso à EDO dada.

Passo 3

Formamos o polinômio característico associando D=\frac{d}{dx} e substituindo D\mapsto r:
r^{3}-4r^{2}+5r-2=0.
Como nos deram a solução y_{1}(x)=e^{x}, isso significa que r=1 é raiz do polinômio característico (pois e^{x}=e^{1\cdot x}). Vamos usar essa informação para fatorar o polinômio.

Passo 4

Fatoração do polinômio pelo método de divisão sintética / divisão por (r-1). Coeficientes: 1,\,-4,\,5,\,-2. Fazendo a divisão por (r-1) com r=1:
  • Trago o 1.
  • Multiplico 1\cdot 1=1; somo com -4 e obtenho -3.
  • Multiplico 1\cdot(-3)=-3; somo com 5 e obtenho 2.
  • Multiplico 1\cdot 2=2; somo com -2 e obtenho 0 (resto zero, confirmado que r=1 é raiz).
O quociente é r^{2}-3r+2. Portanto
r^{3}-4r^{2}+5r-2=(r-1)(r^{2}-3r+2).
Agora fatoramos a quadrática:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2).
Assim obtemos a fatoração completa
r^{3}-4r^{2}+5r-2=(r-1)^{2}(r-2).

Passo 5

Interpretação das raízes: as raízes do polinômio característico são \,r=1 com multiplicidade 2 e \,r=2 com multiplicidade 1.
Teorema (explicado): para coeficientes constantes,
  • se r é raiz simples (multiplicidade 1), então e^{rx} é solução;
  • se r é raiz de multiplicidade m, então as funções
e^{rx},\; x e^{rx},\; x^{2}e^{rx},\;\dots,\; x^{m-1}e^{rx}
são soluções linearmente independentes associadas a essa raiz.
Justificação rápida e intuitiva: escrevemos L[y]=p(D)y com p(r) o polinômio característico; avaliando L[e^{rx}]=p(r)e^{rx}. Se p(r)=0 então e^{rx} é solução. Se r é raiz de multiplicidade maior, derivando a identidade em r e avaliando, obtém-se que x e^{rx} também anula L quando p'(r)=0, e assim por diante — resultando nas potências de x até x^{m-1}.

Passo 6

Aplicando o teorema ao caso concreto: raiz r=1 com multiplicidade 2 gera as duas soluções
e^{x}\quad\text{e}\quad x e^{x}.
Raiz r=2 gera a solução
e^{2x}.
Essas três soluções são linearmente independentes e formam uma base do espaço das soluções da EDO de terceira ordem. Portanto a solução geral é combinação linear delas.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+C_{3}e^{2x}

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