Determine a curvatura e a torção da curva x=\operatorname{sinh} t, y=\operatorname{cosh} t, z=t no ponto (0,1,0).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada pelas funções coordenadas e pede a curvatura e a torção no ponto (0,1,0).
Informações dadas:
  • A curva é \;x=\operatorname{sinh} t,\; y=\operatorname{cosh} t,\; z=t\;.
  • O ponto onde queremos os valores é (0,1,0).
O que é pedido:
  • A curvatura \kappa da curva no ponto (0,1,0).
  • A torção \tau da curva no ponto (0,1,0).

Passo 2

Primeiro identificar o valor do parâmetro t que corresponde ao ponto (0,1,0).
Devemos resolver o sistema obtido das coordenadas:
\operatorname{sinh} t = 0,\qquad \operatorname{cosh} t = 1,\qquad t = 0.
Sabendo que \operatorname{sinh} 0 = 0 e \operatorname{cosh} 0 = 1, concluímos que o ponto corresponde a t=0.
(Resumo: pegou-se o dado do enunciado — as expressões de x,y,z como funções de t — e encontrou-se t=0.)

Passo 3

Agora vamos escrever o vetor posição e suas derivadas necessárias. Definimos o vetor posição
r(t) = \bigl(\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t,\;t\bigr).
Derivando componente a componente:
r'(t) = \bigl(\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh} t,\;1\bigr),
r''(t) = \bigl(\operatorname{sinh} t,\;\operatorname{cosh} t,\;0\bigr),
r'''(t) = \bigl(\operatorname{cosh} t,\;\operatorname{sinh} t,\;0\bigr).
Explicação didática rápida: derivar uma curva componente a componente significa diferenciar cada coordenada em relação a t. Aqui usei as derivadas conhecidas \dfrac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\operatorname{cosh} t e \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t.

Passo 4

Avaliar as derivadas em t=0 (pois é onde queremos curvatura e torção):
r'(0)=\bigl(\operatorname{cosh} 0,\;\operatorname{sinh} 0,\;1\bigr) = (1,0,1),
r''(0)=\bigl(\operatorname{sinh} 0,\;\operatorname{cosh} 0,\;0\bigr) = (0,1,0),
r'''(0)=\bigl(\operatorname{cosh} 0,\;\operatorname{sinh} 0,\;0\bigr) = (1,0,0).
Comentário amigável: agora temos os vetores velocidade, aceleração e derivada terceira no ponto — com isso podemos aplicar as fórmulas padrão.

Passo 5

Apresentar as fórmulas que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa.
Curvatura: para uma curva parametrizada por t,
\kappa(t)=\frac{\lVert r'(t)\times r''(t)\rVert}{\lVert r'(t)\rVert^{3}},
onde \times é o produto vetorial e \lVert\cdot\rVert é a norma euclidiana do vetor.
Torção: para uma curva parametrizada por t,
\tau(t)=\frac{\bigl(r'(t)\times r''(t)\bigr)\cdot r'''(t)}{\lVert r'(t)\times r''(t)\rVert^{2}},
onde \cdot é o produto escalar.
Explicação rápida das ideias:
  • O numerador da curvatura mede quanto a direção da velocidade muda (via o módulo do produto vetorial entre velocidade e aceleração), e o denominador normaliza pelo cubo da velocidade, tornando \kappa independente da velocidade de parametrização.
  • A torção mede como a curva sai do plano da curva (o plano definido por r' e r''); usa-se o produto escalar entre r''' e o vetor binormal r'\times r''.

Passo 6

Calcular o produto vetorial r'(0)\times r''(0). Usando a regra do determinante:
r'(0)\times r''(0)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Computando componente a componente:
  • Componente \mathbf{i}: 0\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1.
  • Componente \mathbf{j}: -\bigl(1\cdot 0 - 1\cdot 0\bigr) = 0.
  • Componente \mathbf{k}: 1\cdot 1 - 0\cdot 0 = 1.
Logo
r'(0)\times r''(0) = (-1,\,0,\,1).
Calcular a norma desse vetor:
\lVert r'(0)\times r''(0)\rVert = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
Também precisamos da norma de r'(0):
\lVert r'(0)\rVert = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}.

Passo 7

Calcular a curvatura \kappa(0) usando a fórmula:
\kappa(0)=\frac{\lVert r'(0)\times r''(0)\rVert}{\lVert r'(0)\rVert^{3}} = \frac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^{3}}.
Simplificando (\sqrt{2})^{3} = 2\sqrt{2}, obtemos
\kappa(0)=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.
Breve reforço: o resultado é \kappa(0)=\tfrac{1}{2}. Isso significa que, naquele ponto, a curva tem curvatura numérica igual a 1/2.

Passo 8

Calcular a torção \tau(0). Primeiro calcular o produto escalar (r'(0)\times r''(0))\cdot r'''(0):
Temos r'(0)\times r''(0)=(-1,0,1) e r'''(0)=(1,0,0), então
\bigl(r'(0)\times r''(0)\bigr)\cdot r'''(0) = (-1)\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 0 = -1.
Já calculámos \lVert r'(0)\times r''(0)\rVert^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2.
Agora aplicar a fórmula:
\tau(0)=\frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}.
Interpretação curta e motivadora: a torção negativa indica a orientação com que a curva sai do plano osculador naquele ponto segundo a convenção de sinal do produto misto; o valor absoluto \tfrac{1}{2} mede a intensidade dessa “torção” espacial naquele ponto.

Passo 9

Recapitulando os cálculos principais (para você poder repetir na prova):
  • Encontrar t do ponto dado substituindo as coordenadas; aqui t=0.
  • Calcular r',r'',r''' por diferenciação componente a componente.
  • Avaliar em t requerido.
  • Fazer o produto vetorial r'\times r'', norma e normas de r'.
  • Curvatura: \kappa=\dfrac{\lVert r'\times r''\rVert}{\lVert r'\rVert^{3}}.
  • Torção: \tau=\dfrac{(r'\times r'')\cdot r'''}{\lVert r'\times r''\rVert^{2}}.
Dica de prova: escreva claramente cada vetor, calcule o produto vetorial via determinante e não pule passos — isso evita erros de sinal.

Resposta

\kappa=\tfrac{1}{2}
\tau=-\tfrac{1}{2}

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