Explicação didática rápida: derivar uma curva componente a componente significa diferenciar cada coordenada em relação a t. Aqui usei as derivadas conhecidas \dfrac{d}{dt}\operatorname{sinh} t=\operatorname{cosh} t e \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh} t=\operatorname{sinh} t.
Passo 4
Avaliar as derivadas em t=0 (pois é onde queremos curvatura e torção):
O numerador da curvatura mede quanto a direção da velocidade muda (via o módulo do produto vetorial entre velocidade e aceleração), e o denominador normaliza pelo cubo da velocidade, tornando \kappa independente da velocidade de parametrização.
A torção mede como a curva sai do plano da curva (o plano definido por r' e r''); usa-se o produto escalar entre r''' e o vetor binormal r'\times r''.
Passo 6
Calcular o produto vetorial r'(0)\times r''(0). Usando a regra do determinante:
Já calculámos \lVert r'(0)\times r''(0)\rVert^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2.
Agora aplicar a fórmula:
\tau(0)=\frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}.
Interpretação curta e motivadora: a torção negativa indica a orientação com que a curva sai do plano osculador naquele ponto segundo a convenção de sinal do produto misto; o valor absoluto \tfrac{1}{2} mede a intensidade dessa “torção” espacial naquele ponto.
Passo 9
Recapitulando os cálculos principais (para você poder repetir na prova):
Encontrar t do ponto dado substituindo as coordenadas; aqui t=0.
Calcular r',r'',r''' por diferenciação componente a componente.
Avaliar em t requerido.
Fazer o produto vetorial r'\times r'', norma e normas de r'.