Calcule a curvatura e a torcão das seguintes curvas \omega(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}^{2}, \sin \mathrm{t}-\mathrm{t} \cos \mathrm{t}, \cos \mathrm{t}+\mathrm{t} \sin \mathrm{t}\right), \mathrm{t}>0
Passo 1
O enunciado pede calcular a curvatura e a torção da curva
\omega(t)=\bigl(t^{2},\;\sin t - t\cos t,\;\cos t + t\sin t\bigr),\qquad t>0.
Informações dadas (pegas diretamente do enunciado):
A curva é \omega(t) com as componentes x(t)=t^{2}, y(t)=\sin t - t\cos t, z(t)=\cos t + t\sin t.
O parâmetro t satisfaz t>0.
As perguntas são:
Calcular a curvatura \kappa(t).
Calcular a torção \tau(t).
Passo 2
Vou usar as fórmulas padrão (aquelas que aparecem normalmente numa prova). Explico o que cada símbolo significa:
\omega'(t) é o vetor velocidade (derivada primeira).
\omega''(t) é a derivada segunda (aceleração).
\omega'''(t) é a derivada terceira.
\|\cdot\| é a norma euclidiana de um vetor.
\times é o produto vetorial (cross product) e \cdot é o produto interno.
Breve lembrete didático: \kappa mede o quanto a curva se dobra (curvatura) e usa a área do paralelogramo gerado por \omega' e \omega'' (isso vem do produto vetorial). A torção \tau mede o quanto a curva sai do plano formado por \omega' e \omega''; aparece como produto escalar entre o vetor normal ao plano (\omega'\times\omega'') e a derivada terceira.
Passo 3
Calcular as derivadas de \omega passo a passo.
Derivada primeira:
\omega'(t)=\bigl(2t,\;\cos t -(\cos t - t\sin t),\; -\sin t +(\sin t + t\cos t)\bigr).
Resumo interpretativo (curto e motivador): as fórmulas simplificaram muito por conta dos termos trigonométricos se combinarem e por aparecerem fatores t que cancelaram. Resultado simples em termos de t: curvatura decai como 1/t e torção também como 1/t (com sinal negativo aqui).