Calcule a curvatura e a torcão das seguintes curvas
\omega(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}^{2}, \sin \mathrm{t}-\mathrm{t} \cos \mathrm{t}, \cos \mathrm{t}+\mathrm{t} \sin \mathrm{t}\right), \mathrm{t}>0

Passo 1

O enunciado pede calcular a curvatura e a torção da curva
\omega(t)=\bigl(t^{2},\;\sin t - t\cos t,\;\cos t + t\sin t\bigr),\qquad t>0.
Informações dadas (pegas diretamente do enunciado):
  • A curva é \omega(t) com as componentes x(t)=t^{2}, y(t)=\sin t - t\cos t, z(t)=\cos t + t\sin t.
  • O parâmetro t satisfaz t>0.
    As perguntas são:
  • Calcular a curvatura \kappa(t).
  • Calcular a torção \tau(t).

Passo 2

Vou usar as fórmulas padrão (aquelas que aparecem normalmente numa prova). Explico o que cada símbolo significa:
  • \omega'(t) é o vetor velocidade (derivada primeira).
  • \omega''(t) é a derivada segunda (aceleração).
  • \omega'''(t) é a derivada terceira.
  • \|\cdot\| é a norma euclidiana de um vetor.
  • \times é o produto vetorial (cross product) e \cdot é o produto interno.
As fórmulas que usarei são
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\omega'(t)\times\omega''(t)\bigr\|}{\bigl\|\omega'(t)\bigr\|^{3}},
\tau(t)=\frac{\bigl(\omega'(t)\times\omega''(t)\bigr)\cdot\omega'''(t)}{\bigl\|\omega'(t)\times\omega''(t)\bigr\|^{2}}.
Breve lembrete didático: \kappa mede o quanto a curva se dobra (curvatura) e usa a área do paralelogramo gerado por \omega' e \omega'' (isso vem do produto vetorial). A torção \tau mede o quanto a curva sai do plano formado por \omega' e \omega''; aparece como produto escalar entre o vetor normal ao plano ( \omega'\times\omega'') e a derivada terceira.

Passo 3

Calcular as derivadas de \omega passo a passo.
Derivada primeira:
\omega'(t)=\bigl(2t,\;\cos t -(\cos t - t\sin t),\; -\sin t +(\sin t + t\cos t)\bigr).
Simplificando os termos:
\omega'(t)=\bigl(2t,\;t\sin t,\;t\cos t\bigr)=t\bigl(2,\sin t,\cos t\bigr).
Derivada segunda:
Derivando componente a componente,
\omega''(t)=\bigl(2,\;\sin t + t\cos t,\;\cos t - t\sin t\bigr).
Derivada terceira:
\omega'''(t)=\bigl(0,\;2\cos t - t\sin t,\;-2\sin t - t\cos t\bigr).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \omega'(t)\times\omega''(t). Faço pelo determinante:
\omega'(t)\times\omega''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2t & t\sin t & t\cos t\\[4pt] 2 & \sin t + t\cos t & \cos t - t\sin t \end{vmatrix}.
Calculo cada componente:
  • Componente \mathbf{i}:
t\sin t\cdot(\cos t - t\sin t)-t\cos t\cdot(\sin t + t\cos t)
= t\sin t\cos t - t^{2}\sin^{2}t - t\cos t\sin t - t^{2}\cos^{2}t
= -t^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t) = -t^{2}.
  • Componente \mathbf{j} (atenção ao sinal negativo do determinante):
-\bigl(2t(\cos t - t\sin t)-t\cos t\cdot 2\bigr) = -\bigl(2t\cos t -2t^{2}\sin t -2t\cos t\bigr) = 2t^{2}\sin t.
  • Componente \mathbf{k}:
2t(\sin t + t\cos t)-2t\sin t = 2t^{2}\cos t.
Portanto
\omega'(t)\times\omega''(t)=\bigl(-t^{2},\;2t^{2}\sin t,\;2t^{2}\cos t\bigr) = t^{2}\bigl(-1,\;2\sin t,\;2\cos t\bigr).]

Passo 5

Calcular a norma de \omega'(t) e a norma do produto vetorial, simplificando usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1.
Norma de \omega'(t):
\bigl\|\omega'(t)\bigr\| = \bigl\|t(2,\sin t,\cos t)\bigr\| = t\sqrt{2^{2}+\sin^{2}t+\cos^{2}t} = t\sqrt{4+1}=t\sqrt{5}.
Norma do produto vetorial:
\bigl\|\omega'(t)\times\omega''(t)\bigr\| = t^{2}\sqrt{(-1)^{2}+(2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}}
= t^{2}\sqrt{1+4\sin^{2}t+4\cos^{2}t}= t^{2}\sqrt{1+4}=t^{2}\sqrt{5}.

Passo 6

Calcular a curvatura \kappa(t) pela fórmula:
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\omega'(t)\times\omega''(t)\bigr\|}{\bigl\|\omega'(t)\bigr\|^{3}} =\frac{t^{2}\sqrt{5}}{\bigl(t\sqrt{5}\bigr)^{3}}.
Simplificando:
\bigl(t\sqrt{5}\bigr)^{3}=t^{3}(\sqrt{5})^{3}=t^{3}\cdot5\sqrt{5},
então
\kappa(t)=\frac{t^{2}\sqrt{5}}{5\sqrt{5}\,t^{3}}=\frac{1}{5t}.

Passo 7

Calcular a torção \tau(t). Primeiro computo o produto escalar (\omega'\times\omega'')\cdot\omega'''.
Usando \omega'(t)\times\omega''(t)=t^{2}(-1,2\sin t,2\cos t) e \omega'''(t)=(0,\,2\cos t - t\sin t,\, -2\sin t - t\cos t),
(\omega'\times\omega'')\cdot\omega''' = t^{2}\bigl(-1,2\sin t,2\cos t\bigr)\cdot\bigl(0,\,2\cos t - t\sin t,\, -2\sin t - t\cos t\bigr).
Calculo interno (primeiro sem o fator t^{2}):
(-1)\cdot 0 + 2\sin t\cdot(2\cos t - t\sin t) + 2\cos t\cdot(-2\sin t - t\cos t).
Explicando os termos:
2\sin t\cdot 2\cos t -2t\sin^{2}t -4\sin t\cos t -2t\cos^{2}t
= (4\sin t\cos t -4\sin t\cos t) -2t(\sin^{2}t+\cos^{2}t) = -2t.
Multiplicando pelo fator t^{2} obtemos
(\omega'\times\omega'')\cdot\omega''' = t^{2}\cdot(-2t) = -2t^{3}.
Norma ao quadrado do produto vetorial:
\bigl\|\omega'\times\omega''\bigr\|^{2}=(t^{2}\sqrt{5})^{2}=5t^{4}.
Logo a torção é
\tau(t)=\frac{-2t^{3}}{5t^{4}}=-\frac{2}{5t}.

Passo 8

Resumo interpretativo (curto e motivador): as fórmulas simplificaram muito por conta dos termos trigonométricos se combinarem e por aparecerem fatores t que cancelaram. Resultado simples em termos de t: curvatura decai como 1/t e torção também como 1/t (com sinal negativo aqui).

Resposta

\kappa(t)=\dfrac{1}{5t}
\tau(t)=-\dfrac{2}{5t}

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