\alpha'(t), \alpha''(t), \alpha'''(t) são a primeira, segunda e terceira derivadas da curva em relação a t.
\times é o produto vetorial (gera um vetor perpendicular aos dois vetores).
\cdot é o produto escalar (gera um número real).
\|\cdot\| é a norma Euclidiana do vetor.
Essa fórmula dá a torção em termos das derivadas no parâmetro arbitrário t.
Passo 3
Calcular as derivadas sucessivas de \alpha(t). Derivando componente a componente:
\alpha'(t)=(-a\sin t,\;a\cos t,\;b),
\alpha''(t)=(-a\cos t,\;-a\sin t,\;0),
\alpha'''(t)=(a\sin t,\;-a\cos t,\;0).
Cada componente foi derivada usando \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t; a componente linear b t tem derivada constante b.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \alpha'(t)\times\alpha''(t). Usando a regra do determinante,
\alpha'(t)\times\alpha''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -a\sin t & a\cos t & b \\\\ -a\cos t & -a\sin t & 0 \end{vmatrix}.
Interpretação curta e dica para prova: a torção é constante ao longo da hélice parametrizada por \alpha(t). O procedimento padrão em prova é sempre:
calcular \alpha',\alpha'',\alpha'''; 2) formar \alpha'\times\alpha''; 3) calcular o produto escalar com \alpha''' e a norma quadrada do cruzamento; 4) substituir e simplificar. Se você fizer cada operação com calma (como aqui), quase sempre as trigonometria simplifica usando \sin^{2}+\cos^{2}=1.