Calcule a torção da curva \alpha(t)=(a \cos t, a \sin t, b t)

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha(t)=(a\cos t,\;a\sin t,\;b t) e pede para calcular a torção dessa curva. Informações relevantes fornecidas:
  • a e b são constantes reais (assume-se a\neq0 para ter uma hélice não degenerada).
  • A variável de parâmetro é t.
    O que precisa ser encontrado: a função \tau(t) (torção) da curva \alpha.

Passo 2

Fórmula prática para a torção quando a curva está parametrizada por um parâmetro qualquer t (não necessariamente por comprimento de arco):
\tau(t)=\frac{(\alpha'(t)\times\alpha''(t))\cdot\alpha'''(t)}{\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|^{2}}.
Explicando os termos:
  • \alpha'(t), \alpha''(t), \alpha'''(t) são a primeira, segunda e terceira derivadas da curva em relação a t.
  • \times é o produto vetorial (gera um vetor perpendicular aos dois vetores).
  • \cdot é o produto escalar (gera um número real).
  • \|\cdot\| é a norma Euclidiana do vetor.
    Essa fórmula dá a torção em termos das derivadas no parâmetro arbitrário t.

Passo 3

Calcular as derivadas sucessivas de \alpha(t). Derivando componente a componente:
\alpha'(t)=(-a\sin t,\;a\cos t,\;b),
\alpha''(t)=(-a\cos t,\;-a\sin t,\;0),
\alpha'''(t)=(a\sin t,\;-a\cos t,\;0).
Cada componente foi derivada usando \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t; a componente linear b t tem derivada constante b.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \alpha'(t)\times\alpha''(t). Usando a regra do determinante,
\alpha'(t)\times\alpha''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -a\sin t & a\cos t & b \\\\ -a\cos t & -a\sin t & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\alpha'(t)\times\alpha''(t)=(a b\sin t,\;-a b\cos t,\;a^{2}).
Mostrando rapidamente cada componente:
  • Componente x: a\cos t\cdot 0 - b(-a\sin t)=a b\sin t.
  • Componente y: -\big(-a\sin t\cdot 0 - b(-a\cos t)\big)=-a b\cos t.
  • Componente z: -a\sin t\cdot(-a\sin t)-a\cos t\cdot(-a\cos t)=a^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)=a^{2}.

Passo 5

Calcular o quadrado da norma de \alpha'(t)\times\alpha''(t):
\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|^{2}=(a b\sin t)^{2}+(-a b\cos t)^{2}+(a^{2})^{2}.
Agrupando termos e usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1:
\|\alpha'(t)\times\alpha''(t)\|^{2}=a^{2}b^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)+a^{4}=a^{2}b^{2}+a^{4}=a^{2}(a^{2}+b^{2}).

Passo 6

Calcular o produto escalar (\alpha'(t)\times\alpha''(t))\cdot\alpha'''(t). Usando os vetores já obtidos:
(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha''' =(a b\sin t,\;-a b\cos t,\;a^{2})\cdot(a\sin t,\;-a\cos t,\;0).
Fazendo a soma componente a componente:
(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''=a^{2}b\sin^{2}t+a^{2}b\cos^{2}t+a^{2}\cdot 0.
Usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1:
(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''=a^{2}b.

Passo 7

Substituir na fórmula da torção:
\tau(t)=\frac{(\alpha'\times\alpha'')\cdot\alpha'''}{\|\alpha'\times\alpha''\|^{2}} =\frac{a^{2}b}{a^{2}(a^{2}+b^{2})}.
Simplificando (cancelando a^{2}, assumindo a\neq0):
\tau(t)=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.

Passo 8

Interpretação curta e dica para prova: a torção é constante ao longo da hélice parametrizada por \alpha(t). O procedimento padrão em prova é sempre:
  1. calcular \alpha',\alpha'',\alpha'''; 2) formar \alpha'\times\alpha''; 3) calcular o produto escalar com \alpha''' e a norma quadrada do cruzamento; 4) substituir e simplificar. Se você fizer cada operação com calma (como aqui), quase sempre as trigonometria simplifica usando \sin^{2}+\cos^{2}=1.

Resposta

\displaystyle \tau(t)=\frac{b}{a^{2}+b^{2}}

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