Determine d y
y=4 \operatorname{tg}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=4\operatorname{tg}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)\; e pede para determinar \;d y\;.
Informações relevantes: a função é composta (uma tangente com argumento \frac{x^3}{3}) e há uma constante multiplicativa 4. Não há outros dados.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (sem pular etapas): a diferencial \;d y\; de uma função y=f(x) é definida por
d y = f'(x)\,dx.
Isto significa que primeiro calculamos a derivada \;f'(x)\; e depois multiplicamos por \;dx\;. Aqui \;dx\; é apenas o símbolo que indica a variação independente de x.

Passo 3

Regras de derivação que precisamos (explicadas com calma):
  • Regra da constante: se y=c\cdot g(x) com c constante, então y'=c\cdot g'(x). Ou seja, podemos puxar a constante para fora da derivada.
  • Derivada da tangente: se g(x)=\tan(u(x)) então
g'(x)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
A função \operatorname{sec}(t) é a recíproca do cosseno, \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos t}, e \operatorname{sec}^{2}t significa (\operatorname{sec} t)^2.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia ao nosso caso: defina o argumento interno
u(x)=\frac{x^{3}}{3}.
Calcule u'(x): usando potência, \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}, então
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=\frac{3x^{2}}{3}=x^{2}.

Passo 5

Agora derivamos y. Primeiro puxamos a constante 4:
y'=4\cdot \frac{d}{dx}\left[\tan\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)\right].
Usando a regra da cadeia para a tangente:
\frac{d}{dx}\left[\tan\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)\right]=\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)\cdot x^{2}.
Logo
y'=4\cdot x^{2}\cdot \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right).

Passo 6

Finalmente escrevemos a diferencial multiplicando por \;dx\;:
d y = y'\,dx = 4x^{2}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)\,dx.
Observação extra útil: se preferir, pode usar a identidade \operatorname{sec}^{2}t=1+\tan^{2}t e escrever
d y = 4x^{2}\bigl(1+\tan^{2}\!\bigl(\tfrac{x^{3}}{3}\bigr)\bigr)\,dx,
o que é equivalente.

Resposta

d y = 4x^{2}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)\,dx.

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