Encontre a derivada e simplifique quando possível.
G(x)=\frac{1-\operatorname{cosech} x}{1+\operatorname{cosech} x}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada de G(x)=\dfrac{1-\operatorname{cosech} x}{1+\operatorname{cosech} x} e simplificar quando possível.
Informações dadas: a expressão de G(x) em termos da função hiperbólica \operatorname{cosech} x (que é \dfrac{1}{\operatorname{sinh} x}). Nós devemos devolver a derivada G'(x) simplificada.

Passo 2

Vamos identificar as partes da função para aplicar a regra do quociente. Seja
u(x)=1-\operatorname{cosech} x
v(x)=1+\operatorname{cosech} x.
A regra do quociente diz que, para G(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
G'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.
Aqui cada termo u'(x) e v'(x) precisa ser calculado.

Passo 3

Precisamos da derivada de \operatorname{cosech} x. Lembrando que \operatorname{cosech} x=\dfrac{1}{\operatorname{sinh} x} e que \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x, podemos derivar por regra do quociente/recíproco:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{cosech} x\big)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{sinh} x^{-1}\big)=-\operatorname{sinh} x^{-2}\cdot\operatorname{cosh} x=-\operatorname{cosech} x\cdot\coth x.
Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(1-\operatorname{cosech} x\big)=-\frac{d}{dx}\big(\operatorname{cosech} x\big)=+\operatorname{cosech} x\,\coth x
e
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(1+\operatorname{cosech} x\big)=\frac{d}{dx}\big(\operatorname{cosech} x\big)=-\operatorname{cosech} x\,\coth x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente: substituindo u,u',v,v',
G'(x)=\frac{\big(\operatorname{cosech} x\,\coth x\big)\big(1+\operatorname{cosech} x\big)-\big(1-\operatorname{cosech} x\big)\big(-\operatorname{cosech} x\,\coth x\big)}{\big(1+\operatorname{cosech} x\big)^2}.
No numerador, fatoramos \operatorname{cosech} x\,\coth x:
\text{numerador}=\operatorname{cosech} x\,\coth x\big(1+\operatorname{cosech} x\big)+\operatorname{cosech} x\,\coth x\big(1-\operatorname{cosech} x\big).
Somando os parênteses:
\big(1+\operatorname{cosech} x\big)+\big(1-\operatorname{cosech} x\big)=2,
logo o numerador fica
2\,\operatorname{cosech} x\,\coth x.
Portanto
G'(x)=\frac{2\,\operatorname{cosech} x\,\coth x}{\big(1+\operatorname{cosech} x\big)^2}.

Passo 5

Agora simplificamos escrevendo \operatorname{cosech} x e \coth x em termos de \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x. Temos \operatorname{cosech} x=\dfrac{1}{\operatorname{sinh} x} e \coth x=\dfrac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}. Substituindo no numerador:
2\,\operatorname{cosech} x\,\coth x=2\cdot\frac{1}{\operatorname{sinh} x}\cdot\frac{\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh} x}=\frac{2\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh}^2 x}.
No denominador:
\big(1+\operatorname{cosech} x\big)^2=\left(1+\frac{1}{\operatorname{sinh} x}\right)^2=\left(\frac{\operatorname{sinh} x+1}{\operatorname{sinh} x}\right)^2=\frac{(\operatorname{sinh} x+1)^2}{\operatorname{sinh}^2 x}.
Dividindo numerador por denominador (cancelando \operatorname{sinh}^2 x):
G'(x)=\frac{\dfrac{2\operatorname{cosh} x}{\operatorname{sinh}^2 x}}{\dfrac{(\operatorname{sinh} x+1)^2}{\operatorname{sinh}^2 x}}=\frac{2\operatorname{cosh} x}{(\operatorname{sinh} x+1)^2}.

Passo 6

Comentário final e domínio: a expressão final está simplificada e livre de funções recíprocas. Note que \operatorname{cosech} x e as manipulações exigem \operatorname{sinh} x\neq 0, ou seja x\neq 0. A fórmula da derivada vale para todo x tal que \operatorname{sinh} x\neq 0.

Resposta

\displaystyle G'(x)=\frac{2\operatorname{cosh} x}{\big(\operatorname{sinh} x+1\big)^2}

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