Encontre a derivada e simplifique quando possível.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada de
e simplificar quando possível.
Informações dadas: a expressão de em termos da função hiperbólica
(que é
). Nós devemos devolver a derivada
simplificada.
Informações dadas: a expressão de
Passo 2
Vamos identificar as partes da função para aplicar a regra do quociente. Seja
A regra do quociente diz que, para
,
Aqui cada termo
e
precisa ser calculado.
Passo 3
Precisamos da derivada de
. Lembrando que
e que
, podemos derivar por regra do quociente/recíproco:
Portanto
e
Passo 4
Agora aplicamos a regra do quociente: substituindo
,
No numerador, fatoramos
:
Somando os parênteses:
logo o numerador fica
Portanto
Passo 5
Agora simplificamos escrevendo
e
em termos de
e
. Temos
e
. Substituindo no numerador:
No denominador:
Dividindo numerador por denominador (cancelando
):
Passo 6
Comentário final e domínio: a expressão final está simplificada e livre de funções recíprocas. Note que
e as manipulações exigem
, ou seja
. A fórmula da derivada vale para todo
tal que
.