Informações relevantes: a expressão inteira que devemos derivar está explícita; o objetivo é calcular sua derivada e mostrar que o resultado é \operatorname{tg}^{-1}x.
Passo 2
Revisão das regras de derivação que vamos usar (com explicação passo a passo):
Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
Breve justificativa da última: se y=\operatorname{tg}^{-1}x então \tan y=x; diferenciando implicitamente temos \operatorname{sec}^{2}y\cdot y'=1, logo y'=\cos^{2}y=\dfrac{1}{1+\tan^{2}y}=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
Passo 3
Aplicamos a regra do produto ao termo x\,\operatorname{tg}^{-1}x. Tomando u(x)=x e v(x)=\operatorname{tg}^{-1}x,
Derivamos o segundo termo -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^{2}\right). Usamos a constante -\dfrac{1}{2} multiplicando a derivada de \ln(1+x^{2}). Pela regra da cadeia,
Observe que os termos \dfrac{x}{1+x^{2}} e -\dfrac{x}{1+x^{2}} se cancelam. Assim sobra
\frac{d}{dx}F(x)=\operatorname{tg}^{-1}x.
Passo 6
Concluímos que a derivada da expressão dada é exatamente \operatorname{tg}^{-1}x, como pedido. Pequena motivação final: o termo com \ln(1+x^{2}) foi exatamente o responsável por cancelar a parcela extra que aparece ao derivar o produto, deixando só \operatorname{tg}^{-1}x.