Verifique que
\frac{d}{d x}\left[x \operatorname{tg}^{-1} x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^{2}\right)\right]=\operatorname{tg}^{-1} x

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=x\,\operatorname{tg}^{-1}x-\frac{1}{2}\ln\left(1+x^{2}\right)
e pede para verificar que
\frac{d}{dx}\bigg[\,x\,\operatorname{tg}^{-1}x-\frac{1}{2}\ln\left(1+x^{2}\right)\bigg]=\operatorname{tg}^{-1}x.
Informações relevantes: a expressão inteira que devemos derivar está explícita; o objetivo é calcular sua derivada e mostrar que o resultado é \operatorname{tg}^{-1}x.

Passo 2

Revisão das regras de derivação que vamos usar (com explicação passo a passo):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big[u(x)v(x)\big]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x) denota a derivada de u em relação a x.
  • Derivada do logaritmo natural (cadeia): se g(x) é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dx}\big[\ln(g(x))\big]=\frac{g'(x)}{g(x)}.
  • Derivada da função tangente inversa: para \operatorname{tg}^{-1}x (arctan),
\frac{d}{dx}\big[\operatorname{tg}^{-1}x\big]=\frac{1}{1+x^{2}}.
Breve justificativa da última: se y=\operatorname{tg}^{-1}x então \tan y=x; diferenciando implicitamente temos \operatorname{sec}^{2}y\cdot y'=1, logo y'=\cos^{2}y=\dfrac{1}{1+\tan^{2}y}=\dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto ao termo x\,\operatorname{tg}^{-1}x. Tomando u(x)=x e v(x)=\operatorname{tg}^{-1}x,
\frac{d}{dx}\big[x\,\operatorname{tg}^{-1}x\big]=\underbrace{\frac{d}{dx}[x]}_{=1}\cdot\operatorname{tg}^{-1}x + x\cdot\underbrace{\frac{d}{dx}\big[\operatorname{tg}^{-1}x\big]}_{=\frac{1}{1+x^{2}}}.
Portanto
\frac{d}{dx}\big[x\,\operatorname{tg}^{-1}x\big]=\operatorname{tg}^{-1}x + \frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 4

Derivamos o segundo termo -\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x^{2}\right). Usamos a constante -\dfrac{1}{2} multiplicando a derivada de \ln(1+x^{2}). Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big[\ln(1+x^{2})\big]=\frac{2x}{1+x^{2}}.
Multiplicando pela constante:
\frac{d}{dx}\left[-\frac{1}{2}\ln(1+x^{2})\right]=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}=-\frac{x}{1+x^{2}}.

Passo 5

Somamos as derivadas dos dois termos (linha por linha):
\frac{d}{dx}F(x)=\left(\operatorname{tg}^{-1}x+\frac{x}{1+x^{2}}\right)+\left(-\frac{x}{1+x^{2}}\right).
Observe que os termos \dfrac{x}{1+x^{2}} e -\dfrac{x}{1+x^{2}} se cancelam. Assim sobra
\frac{d}{dx}F(x)=\operatorname{tg}^{-1}x.

Passo 6

Concluímos que a derivada da expressão dada é exatamente \operatorname{tg}^{-1}x, como pedido. Pequena motivação final: o termo com \ln(1+x^{2}) foi exatamente o responsável por cancelar a parcela extra que aparece ao derivar o produto, deixando só \operatorname{tg}^{-1}x.

Resposta

\operatorname{tg}^{-1}x

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