Determine d yd x usando derivação implícita:
(2 x+3 y)^2=x+1;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dydx a partir da relação implícita
(2x+3y)^2 = x + 1
O conteúdo envolvido é derivação implícita, usando a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x. No lado esquerdo, seja u=2x+3y, então (2x+3y)^2=u^2 e
ddx(u^2) = 2u;dudx
Como dudx = 2 + 3dydx, obtemos
ddxl((2x+3y)^2r) = 2(2x+3y)l(2 + 3dydxr)
No lado direito,
ddx(x+1) = 1
Logo a equação diferenciada é
2(2x+3y)l(2 + 3dydxr) = 1

Passo 3

Agora isolamos dydx. Primeiro expandimos:
4(2x+3y) + 6(2x+3y)dydx = 1
Em seguida,
6(2x+3y)dydx = 1 - 4(2x+3y),
portanto
dydx = 1 - 4(2x+3y)6(2x+3y) = 1 - 8x - 12y6(2x+3y)

Resposta

dydx = 1 - 8x - 12y6(2x+3y)

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