Determine se os dados a seguir se ajustam a uma isoterma de Langmuir não-dissociativa, dissociativa ou a uma isoterma de Freundlich.
Concentração / M 0,006 0,025 0,053 0,111
Massa adsorvida / g 0,440 0,780 1,040 1,440

Passo 1

O enunciado apresenta uma tabela com concentrações e massas adsorvidas e pede para decidir qual isoterma descreve melhor os dados: Langmuir não-dissociativa, Langmuir dissociativa ou Freundlich. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c} \text{Concentração }\text{(C)}\;/\;\text{M} & \text{Massa adsorvida }(q)\;/\;\text{g} \\\ \hline 0{,}006 & 0{,}440\\\\ 0{,}025 & 0{,}780\\\\ 0{,}053 & 1{,}040\\\\ 0{,}111 & 1{,}440 \end{array}
O que preciso decidir: entre as três isotermas qual fornece o melhor ajustamento aos dados. Não devo pedir mais informações — vou trabalhar com esses números.

Passo 2

Breve explicação das isotermas e suas formas linearizadas (a ideia é transformar os dados para obter uma reta quando o modelo é válido).
Langmuir não-dissociativa:
  • Fórmula: \displaystyle q=\frac{q_{\max}K\,C}{1+K\,C}.
  • Aqui \,q é a massa adsorvida por amostra (aqui a massa dada), \,C é a concentração em equilíbrio, \,q_{\max} é a capacidade máxima (monocamada) e \,K é a constante de afinidade.
  • Linearização usual: multiplicando e reorganizando obtemos uma forma linear: \frac{C}{q}=\frac{1}{q_{\max}K}+\frac{C}{q_{\max}}.Logo, se o modelo for válido, um gráfico de \frac{C}{q} versus C dá uma reta de coeficiente angular \frac{1}{q_{\max}} e intercepto \frac{1}{q_{\max}K}.

Passo 3

Langmuir dissociativa (quando a espécie adsorve dissociando-se, ocupando mais de um sítio — forma usada em alguns casos):
  • Fórmula típica para adsorção dissociativa (um exemplo comum) usa raiz de C: q=\frac{q_{\max}\,K^{1/2}\,C^{1/2}}{1+K^{1/2}\,C^{1/2}}.
  • Linearização similar dá: \frac{C^{1/2}}{q}=\frac{1}{q_{\max}K^{1/2}}+\frac{C^{1/2}}{q_{\max}}.Então um gráfico de \frac{C^{1/2}}{q} versus C^{1/2} deve ser uma reta com coeficiente angular \frac{1}{q_{\max}} e intercepto \frac{1}{q_{\max}K^{1/2}}.

Passo 4

Isoterma de Freundlich (modelo empírico):
  • Fórmula: \displaystyle q=K_F\,C^{1/n}.
  • Aqui K_F e n são constantes empíricas; 1/n é a inclinação na escala logarítmica.
  • Linearização por logaritmo natural (ou base 10) dá: \ln q=\ln K_F+\frac{1}{n}\ln C.Então um gráfico \ln q versus \ln C deve ser linear com inclinação \frac{1}{n} e intercepto \ln K_F.

Passo 5

Transformações dos dados (vou calcular os valores necessários para as três linearizações). Vou usar as notações em TeX e vírgula como separador decimal.
Dados originais:
\begin{array}{c|c} C\;(\text{M}) & q\;(\text{g})\\\ \hline 0{,}006 & 0{,}440\\\\ 0{,}025 & 0{,}780\\\\ 0{,}053 & 1{,}040\\\\ 0{,}111 & 1{,}440 \end{array}
Calculo \frac{C}{q}:
\begin{array}{c} \frac{0{,}006}{0{,}440}=0{,}013636\dots\\[2pt] \frac{0{,}025}{0{,}780}=0{,}032051\dots\\[2pt] \frac{0{,}053}{1{,}040}=0{,}050962\dots\\[2pt] \frac{0{,}111}{1{,}440}=0{,}077083\dots \end{array}
Calculo C^{1/2} e \dfrac{C^{1/2}}{q} (para Langmuir dissociativa):
\begin{array}{c} \sqrt{0{,}006}=0{,}07746,\quad \dfrac{0{,}07746}{0{,}440}=0{,}1760\\[2pt] \sqrt{0{,}025}=0{,}15811,\quad \dfrac{0{,}15811}{0{,}780}=0{,}2027\\[2pt] \sqrt{0{,}053}=0{,}2300,\quad \dfrac{0{,}2300}{1{,}040}=0{,}2211\\[2pt] \sqrt{0{,}111}=0{,}33317,\quad \dfrac{0{,}33317}{1{,}440}=0{,}2314 \end{array}
Calculo \ln C e \ln q (para Freundlich):
\begin{array}{c} \ln(0{,}006)=-5{,}1160,\quad \ln(0{,}440)=-0{,}82098\\[2pt] \ln(0{,}025)=-3{,}68888,\quad \ln(0{,}780)=-0{,}24846\\[2pt] \ln(0{,}053)=-2{,}93747,\quad \ln(1{,}040)=0{,}03922\\[2pt] \ln(0{,}111)=-2{,}19823,\quad \ln(1{,}440)=0{,}36464 \end{array}]

Passo 6

Ajuste linear para Langmuir não-dissociativa ( \dfrac{C}{q} versus C) — cálculo rápido do coeficiente de correlação linear para avaliar quão reta são os pontos.
  • Médias usadas: \overline{C}=0{,}04875, \overline{C/q}=0{,}043433.
  • Cálculos de covariâncias e variâncias (resumo numérico; fiz soma dos produtos e soma dos quadrados das diferenças):
    • \sum (C_i-\overline{C})(\tfrac{C_i}{q_i}-\overline{C/q})=0{,}003672.
    • \sum (C_i-\overline{C})^2=0{,}006287.
    • \sum (\tfrac{C_i}{q_i}-\overline{C/q})^2=0{,}002206.
  • Correlação de Pearson:
    r=\frac{0{,}003672}{\sqrt{0{,}006287\cdot 0{,}002206}} \approx 0{,}9864,
    logo r^2\approx 0{,}973 (ajuste bastante bom).
  • Ajuste linear \dfrac{C}{q}=a+bC: coeficiente angular b=\dfrac{1}{q_{\max}}\approx 0{,}5843 e intercepto a=\dfrac{1}{q_{\max}K}\approx 0{,}014957. Então:
    q_{\max}\approx \frac{1}{0{,}5843}\approx 1{,}71\\ \text{g},\qquad K\approx\frac{0{,}5843}{0{,}014957}\approx 39{,}1\\ \text{M}^{-1}.

Passo 7

Ajuste linear para Langmuir dissociativa ( \dfrac{C^{1/2}}{q} versus C^{1/2}).
  • Médias: \overline{C^{1/2}}\approx 0{,}19969, \overline{C^{1/2}/q}\approx 0{,}2078125.
  • Somatórios (resumo):
    • \sum (C^{1/2}_i-\overline{C^{1/2}})(\tfrac{C^{1/2}_i}{q_i}-\overline{C^{1/2}/q})\approx 0{,}007653.
    • \sum (C^{1/2}_i-\overline{C^{1/2}})^2\approx 0{,}035405.
    • \sum (\tfrac{C^{1/2}_i}{q_i}-\overline{C^{1/2}/q})^2\approx 0{,}001772.
  • Correlação:
    r=\frac{0{,}007653}{\sqrt{0{,}035405\cdot 0{,}001772}}\approx 0{,}966,\quad r^2\approx 0{,}933.
    Ajuste bom, porém menos bom que o caso Langmuir não-dissociativa.
  • Ajuste linear \dfrac{C^{1/2}}{q}=a'+b'C^{1/2}: obteve-se b'=\dfrac{1}{q_{\max}}\approx 0{,}2161 e a'=\dfrac{1}{q_{\max}K^{1/2}}\approx 0{,}1647. Então:
    q_{\max}\approx\frac{1}{0{,}2161}\approx 4{,}63\\ \text{g},\qquad K^{1/2}\approx\frac{0{,}2161}{0{,}1647}\approx 1{,}313
    e K\approx(1{,}313)^2\approx 1{,}72\\ \text{M}^{-1}.

Passo 8

Ajuste linear para Freundlich ( \ln q versus \ln C) — aqui encontramos o melhor ajuste.
  • Médias: \overline{\ln C}\approx -3{,}485145, \overline{\ln q}\approx -0{,}166395.
  • Somatórios (resumo):
    • \sum (\ln C_i-\overline{\ln C})(\ln q_i-\overline{\ln q})\approx 1{,}8776.
    • \sum (\ln C_i-\overline{\ln C})^2\approx 4{,}6573.
    • \sum (\ln q_i-\overline{\ln q})^2\approx 0{,}7584.
  • Correlação:
    r=\frac{1{,}8776}{\sqrt{4{,}6573\cdot 0{,}7584}}\approx 0{,}99916,\quad r^2\approx 0{,}9983.
    Isto indica um ajuste quase perfeito na escala logarítmica — ou seja, os pontos formam praticamente uma reta em \ln q vs \ln C.
  • Inclinação e intercepto (regressão linear):
    \text{inclinação }m=\frac{\sum(\ln C_i-\overline{\ln C})(\ln q_i-\overline{\ln q})}{\sum(\ln C_i-\overline{\ln C})^2}\approx \frac{1{,}8776}{4{,}6573}\approx 0{,}4032.çã
    Logo \displaystyle \frac{1}{n}=m\approx 0{,}4032\Rightarrow n\approx \frac{1}{0{,}4032}\approx 2{,}48.
    Intercepto:
    \ln K_F=\overline{\ln q}-m\cdot\overline{\ln C}\approx -0{,}166395-0{,}4032\cdot(-3{,}485145)\approx 1{,}2386,
    então
    K_F=\mathrm{e}^{1{,}2386}\approx 3{,}45.

Passo 9

Comparação dos ajustes e decisão:
  • Langmuir não-dissociativa: r^2\approx 0{,}973.
  • Langmuir dissociativa: r^2\approx 0{,}933.
  • Freundlich: r^2\approx 0{,}9983.
O maior r^2 é o de Freundlich, indicando que a relação q=K_F\,C^{1/n} (na forma logarítmica linear) descreve os dados muito melhor do que as formas de Langmuir consideradas. Assim, a isoterma que melhor ajusta os dados é a de Freundlich. Os parâmetros estimados (pela regressão log-log) são aproximadamente K_F\approx 3{,}45 e n\approx 2{,}48.

Passo 10

Resumo final e dica prática para a prova:
  • Para comparar modelos de isoterma, transforme os dados segundo a linearização apropriada de cada modelo e verifique qual transformação dá a melhor reta (avaliando visualmente e/ou pelo coeficiente de correlação r^2).
  • Aqui a transformação log-log (Freundlich) é claramente a melhor. Se for pedido, apresente os parâmetros K_F e n calculados pela regressão linear de \ln q versus \ln C.

Resposta

Isoterma de Freundlich, com parâmetros aproximados \;K_F\approx 3{,}45\; e \;n\approx 2{,}48.

Exercícios relacionados