Analisou-se a constante de equilíbrio da adsorção de íons hexacianoferrato (III) em alumina em distintas temperaturas. O resultado está mostrado na Tabela abixo. Calcule a \Delta \mathrm{H}_{\text {ads }}.
\mathbf{T} / \mathbf{K} 283 298 308 318
\mathbf{K} / \mathbf{1 0}^{-\mathbf{1 1}} 2,642 2,078 1,286 1,085

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação de entalpia de adsorção \Delta H_{\text{ads}} a partir da constante de equilíbrio medida em várias temperaturas. Os dados fornecidos na tabela são (peguei os números da tabela enviada):
\begin{array}{cc} T/\mathrm{K} & K/10^{-11} \\\\ 283 & 2{,}642 \\\\ 298 & 2{,}078 \\\\ 308 & 1{,}286 \\\\ 318 & 1{,}085 \end{array}
Observação da tabela: os valores de K estão apresentados como "valor /\;10^{-11}". Ou seja, o K real seria cada valor da tabela multiplicado por 10^{-11}. Vou usar essa informação adiante (mostrarei por que o fator 10^{-11} não altera o cálculo de \Delta H).

Passo 2

Teoria que vamos usar (explicada passo a passo). A equação de van 't Hoff relaciona a constante de equilíbrio K com a temperatura T:
\ln K = -\frac{\Delta H}{R}\cdot\frac{1}{T} + \frac{\Delta S}{R}.
Aqui:
  • \ln K é o logaritmo natural da constante de equilíbrio (adimensional);
  • \Delta H é a variação de entalpia da adsorção (unidade: \mathrm{J\;mol^{-1}});
  • R é a constante universal dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}};
  • T é a temperatura em kelvin ( \mathrm{K});
  • \Delta S é a variação de entropia (não precisamos do valor final de \Delta S para obter \Delta H).
Se plotarmos \ln K versus 1/T obtemos uma reta cuja inclinação (slope) é
\text{slope} = -\frac{\Delta H}{R}.
Logo, podemos calcular
\Delta H = -R \times \text{slope}.
Comentário prático: o fator comum 10^{-11} que multiplica todos os K apenas acrescenta uma constante \ln(10^{-11}) a todas as \ln K; ao calcular a inclinação dessa reta (diferença de \ln K sobre diferença de 1/T) essa constante cancela. Portanto podemos usar os valores numéricos fornecidos (2{,}642; 2{,}078; …) para calcular a inclinação.

Passo 3

Calcular \ln K para cada valor (usei os valores da tabela sem o fator 10^{-11} por motivo explicado no passo anterior). Valores calculados (mostro aproximações numéricas e como obtive):
\begin{aligned} \ln(2{,}642) &\approx 0{,}971,\\\ \ln(2{,}078) &\approx 0{,}731,\\\ \ln(1{,}286) &\approx 0{,}251,\\\ \ln(1{,}085) &\approx 0{,}083. \end{aligned}
Explicando rapidinho: converti cada número para logaritmo natural usando a definição \ln x=\log_{10}x\cdot 2{,}302585 e arredondei a um dígito na casa centesimal para manter contas à mão na prova.

Passo 4

Calcular 1/T para cada temperatura (mostro os valores):
\begin{aligned} \frac{1}{283} &\approx 0{,}0035336\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{298} &\approx 0{,}0033557\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{308} &\approx 0{,}0032468\\ \mathrm{K^{-1}},\\\ \frac{1}{318} &\approx 0{,}0031447\\ \mathrm{K^{-1}}. \end{aligned}

Passo 5

Escolha do método para obter a inclinação: para simplificar e ser prático na prova, uso o método das duas extremidades (dois pontos extremos da reta), isto é, calculo a inclinação usando os pares (1/T,\ln K) em T=283\\ \mathrm{K} e T=318\\ \mathrm{K}. Isso é aceitável quando os pontos seguem bem uma reta (e neste caso os pontos decaem de forma monotônica); o procedimento é:
\text{slope} \approx \frac{\ln K_{318}-\ln K_{283}}{(1/318)-(1/283)}.
Obs.: poderia fazer ajuste linear por mínimos quadrados usando todos os pontos, mas o cálculo à mão fica muito mais longo; o método com pontos extremos dá um resultado muito próximo para dados bem comportados.

Passo 6

Calcular numericamente a inclinação:
\begin{aligned} \ln K_{283} &\approx 0{,}971,\\\ \ln K_{318} &\approx 0{,}083,\\\ \frac{1}{283} &\approx 0{,}0035336,\\\ \frac{1}{318} &\approx 0{,}0031447. \end{aligned}
Agora a inclinação:
\text{slope} \approx \frac{0{,}083-0{,}971}{0{,}0031447-0{,}0035336} =\frac{-0{,}888}{-0{,}0003889}\approx 2{,}284\times 10^{3}.

Passo 7

Calcular \Delta H a partir da inclinação usando \Delta H = -R\times\text{slope}. Com R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}:
\Delta H \approx -8{,}314\times 2{,}284\times 10^{3}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} \approx -1{,}90\times 10^{4}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Convertendo para kJ·mol^{-1} e arredondando razoavelmente:
\Delta H_{\text{ads}} \approx -19{,}0\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
Interpretação física rápida: \Delta H negativo indica que a adsorção é exotérmica — à medida que a temperatura aumenta a constante de equilíbrio diminui, consistente com os dados.

Resposta

\Delta H_{\text{ads}}\approx -1{,}90\times 10^{4}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}
\Delta H_{\text{ads}}\approx -19{,}0\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}

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