(Livro José Schifino - página 166) Deseja-se recuperar 20 g de um material adsorvente contendo 3 g de um corante adsorvido. Para tanto são feitas duas extrações com 1 litro e 0,5 litros de solvente, respectivamente. Supondo que em ambas as extrações o equilíbrio seja atingido, qual a quantidade de corante que permanecerá adsorvida se o sistema segue a isoterma:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a quantidade de corante que permanecerá adsorvida no adsorvente após duas extrações sucessivas com solvente, sendo as extrações de
litro e
litro, respectivamente. Dados importantes fornecidos pelo enunciado:
- Massa do adsorvente:
. - Massa inicial de corante adsorvida no adsorvente:
. - Volume do primeiro solvente:
. - Volume do segundo solvente:
. - Isoterma fornecida (no enunciado original há uma escrita um pouco confusa). Vamos interpretar a isoterma no formato usual
. Assim assumimos que a isoterma é
onde:
-
é a massa de corante adsorvida (em g) no adsorvente inteiro; -
é a massa do adsorvente (em g); -
é a concentração do corante na fase líquida de equilíbrio (em g/L).
Essa interpretação é coerente com o sentido físico da isoterma (mais concentração em solução -> mais adsorção) e com as unidades. Para
a relação fica, simplificando,
O que vamos calcular: após a primeira extração, a nova massa adsorvida
; depois da segunda extração, a massa final adsorvida
. A resposta pedida é a quantidade de corante que permanecerá adsorvida ao final, isto é
.
Passo 2
Entendendo o princípio que usaremos (massa-conservação nas extrações e isoterma em equilíbrio).
- Em cada extração, o corante que sai do adsorvente vai para o volume de solvente usado. A massa total de corante é conservada (não há perda).
- Se antes de uma extração havia
g adsorvidos e depois g, então a massa transferida para o líquido é . - Essa massa transferida se distribui no volume
do solvente como concentração , ou seja
- Em equilíbrio,
e obedecem à isoterma
(lembrando que já substituímos
para obter o coeficiente
).
Vamos aplicar isso primeiro à extração com
.
Passo 3
Equações da primeira extração.
Variáveis:
-
(inicial adsorvido), -
= massa adsorvida após a primeira extração (incógnita), -
= concentração no solvente após a primeira extração.
Equações:
e
Como
temos
. Substituindo na isoterma:
Para resolver, elevamos ao quadrado (atenção à escolha de raiz física positiva depois):
Expandindo:
Reescrevendo como uma equação quadrática:
Passo 4
Resolvendo a quadrática para
.
Coeficientes:
,
,
.
Discriminante:
Raiz do discriminante:
.
Soluções:
A solução negativa não faz sentido físico (daria
), então tomamos a positiva:
Portanto, após a primeira extração restam adsorvidos
. A concentração no primeiro solvente foi
(só para checar).
Passo 5
Equações da segunda extração.
Agora:
-
é a massa adsorvida antes da segunda extração, -
= massa adsorvida após a segunda extração (incógnita), -
= concentração de equilíbrio na segunda etapa.
Massa transferida na segunda extração:
Com
obtemos
Isoterma em equilíbrio na segunda etapa:
Substituindo
:
Substituímos o valor numérico
e resolvemos para
:
Passo 6
Resolver a equação para
.
Elevando ao quadrado:
Expandindo:
Colocando em forma padrão:
Coeficientes:
,
,
.
Discriminante:
Raiz:
.
Soluções:
Escolhemos a raiz positiva:
Portanto, após a segunda extração a massa de corante que permanece adsorvida é
.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
- Inicialmente havia
adsorvidos. - Após 1ª extração com
restaram . - Após 2ª extração com
restaram . - A massa total recuperada nos dois solventes foi
.
Tudo consistente com as equações de balanço de massa e a isoterma adotada.