(Livro José Schifino - página 166) Deseja-se recuperar 20 g de um material adsorvente contendo 3 g de um corante adsorvido. Para tanto são feitas duas extrações com 1 litro e 0,5 litros de solvente, respectivamente. Supondo que em ambas as extrações o equilíbrio seja atingido, qual a quantidade de corante que permanecerá adsorvida se o sistema segue a isoterma:
\begin{aligned} & x(g) \\\ & M(g)=0,03 x[C(g / L)]^{(0,5)} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a quantidade de corante que permanecerá adsorvida no adsorvente após duas extrações sucessivas com solvente, sendo as extrações de 1 litro e 0,5 litro, respectivamente. Dados importantes fornecidos pelo enunciado:
  • Massa do adsorvente: M=20\\ \text{g}.
  • Massa inicial de corante adsorvida no adsorvente: x_{\text{inicial}}=3\\ \text{g}.
  • Volume do primeiro solvente: V_{1}=1\\ \text{L}.
  • Volume do segundo solvente: V_{2}=0,5\\ \text{L}.
  • Isoterma fornecida (no enunciado original há uma escrita um pouco confusa). Vamos interpretar a isoterma no formato usual \dfrac{x}{M} = k\,C^{n}. Assim assumimos que a isoterma é
x = 0,03\,M\,C^{0,5},
onde:
  • x é a massa de corante adsorvida (em g) no adsorvente inteiro;
  • M é a massa do adsorvente (em g);
  • C é a concentração do corante na fase líquida de equilíbrio (em g/L).
Essa interpretação é coerente com o sentido físico da isoterma (mais concentração em solução -> mais adsorção) e com as unidades. Para M=20\\ \text{g} a relação fica, simplificando,
x = 0,6\,\sqrt{C}.
O que vamos calcular: após a primeira extração, a nova massa adsorvida x_{1}; depois da segunda extração, a massa final adsorvida x_{2}. A resposta pedida é a quantidade de corante que permanecerá adsorvida ao final, isto é x_{2}.

Passo 2

Entendendo o princípio que usaremos (massa-conservação nas extrações e isoterma em equilíbrio).
  • Em cada extração, o corante que sai do adsorvente vai para o volume de solvente usado. A massa total de corante é conservada (não há perda).
  • Se antes de uma extração havia x_{\text{antes}} g adsorvidos e depois x_{\text{depois}} g, então a massa transferida para o líquido é x_{\text{antes}}-x_{\text{depois}}.
  • Essa massa transferida se distribui no volume V do solvente como concentração C, ou seja
x_{\text{antes}}-x_{\text{depois}} = C\,V.
  • Em equilíbrio, x_{\text{depois}} e C obedecem à isoterma
x_{\text{depois}} = 0,6\,\sqrt{C},
(lembrando que já substituímos M=20 para obter o coeficiente 0,6).
Vamos aplicar isso primeiro à extração com V_{1}=1\\ \text{L}.

Passo 3

Equações da primeira extração.
Variáveis:
  • x_{0}=3\\ \text{g} (inicial adsorvido),
  • x_{1} = massa adsorvida após a primeira extração (incógnita),
  • C_{1} = concentração no solvente após a primeira extração.
Equações:
x_{0}-x_{1}=C_{1}V_{1}
e
x_{1}=0,6\sqrt{C_{1}}.
Como V_{1}=1\\ \text{L} temos C_{1}=x_{0}-x_{1}=3-x_{1}. Substituindo na isoterma:
x_{1}=0,6\sqrt{3-x_{1}}.
Para resolver, elevamos ao quadrado (atenção à escolha de raiz física positiva depois):
x_{1}^{2}=0,36\,(3-x_{1}).
Expandindo:
x_{1}^{2}=1,08-0,36x_{1}.
Reescrevendo como uma equação quadrática:
x_{1}^{2}+0,36x_{1}-1,08=0.

Passo 4

Resolvendo a quadrática para x_{1}.
Coeficientes: a=1, b=0,36, c=-1,08.
Discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = 0,36^{2}-4(1)(-1,08)=0,1296+4,32=4,4496.
Raiz do discriminante: \sqrt{\Delta}\approx 2,110.
Soluções:
x_{1} = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-0,36\pm 2,110}{2}.
A solução negativa não faz sentido físico (daria x_{1}<0), então tomamos a positiva:
x_{1} = \frac{-0,36+2,110}{2}=\frac{1,75}{2}=0,875\\ \text{g}.
Portanto, após a primeira extração restam adsorvidos x_{1}\approx 0,875\\ \text{g}. A concentração no primeiro solvente foi C_{1}=3-x_{1}=2,125\\ \text{g/L} (só para checar).

Passo 5

Equações da segunda extração.
Agora:
  • x_{1}=0,875\\ \text{g} é a massa adsorvida antes da segunda extração,
  • x_{2} = massa adsorvida após a segunda extração (incógnita),
  • C_{2} = concentração de equilíbrio na segunda etapa.
Massa transferida na segunda extração:
x_{1}-x_{2}=C_{2}V_{2}.
Com V_{2}=0,5\\ \text{L} obtemos
C_{2}= \frac{x_{1}-x_{2}}{0,5}=2(x_{1}-x_{2}).
Isoterma em equilíbrio na segunda etapa:
x_{2}=0,6\sqrt{C_{2}}.
Substituindo C_{2}:
x_{2}=0,6\sqrt{2(x_{1}-x_{2})}.
Substituímos o valor numérico x_{1}=0,875 e resolvemos para x_{2}:
x_{2}=0,6\sqrt{2(0,875-x_{2})}=0,6\sqrt{1,75-2x_{2}}.

Passo 6

Resolver a equação para x_{2}.
Elevando ao quadrado:
x_{2}^{2}=0,36(1,75-2x_{2}).
Expandindo:
x_{2}^{2}=0,63-0,72x_{2}.
Colocando em forma padrão:
x_{2}^{2}+0,72x_{2}-0,63=0.
Coeficientes: a=1, b=0,72, c=-0,63.
Discriminante:
\Delta = 0,72^{2}-4(1)(-0,63)=0,5184+2,52=3,0384.
Raiz: \sqrt{\Delta}\approx 1,743.
Soluções:
x_{2}=\frac{-0,72\pm 1,743}{2}.
Escolhemos a raiz positiva:
x_{2}=\frac{-0,72+1,743}{2}=\frac{1,023}{2}=0,5115\\ \text{g}.
Portanto, após a segunda extração a massa de corante que permanece adsorvida é x_{2}\approx 0,5115\\ \text{g}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • Inicialmente havia 3\\ \text{g} adsorvidos.
  • Após 1ª extração com 1\\ \text{L} restaram 0,875\\ \text{g}.
  • Após 2ª extração com 0,5\\ \text{L} restaram 0,5115\\ \text{g}.
  • A massa total recuperada nos dois solventes foi 3-0,5115\approx 2,4885\\ \text{g}.
Tudo consistente com as equações de balanço de massa e a isoterma adotada.

Resposta

0,5115\\ \text{g} (aproximadamente)

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