Determine:
dd x[f(g(x))], sabendo que f^prime(x)=e^x e g(x)=ln (x+1x+2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(g(x)), sabendo que f'(x)=e^x e que
g(x)=ln!gl(x+1x+2gr)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos
ddx[f(g(x))] =f'l(g(x)r)cdot g'(x)

Passo 3

Vamos calcular g'(x). Seja
u(x)=x+1x+2,
então g(x)=ln(u(x)) e
u'(x) =(x+2)cdot1 - (x+1)cdot1(x+2)^2 =1(x+2)^2
Logo,
g'(x) =u'(x)u(x) =tfrac1(x+2)^2tfracx+1x+2 =1(x+1)(x+2)

Passo 4

Substituindo em ddx[f(g(x))]:
f'l(g(x)r)=e^,g(x) e g'(x)=1(x+1)(x+2),
fica
ddx[f(g(x))] =e^,g(x)cdot1(x+1)(x+2) =e^ln!l(x+1x+2r)cdot1(x+1)(x+2)

Passo 5

Como e^ln(x+1x+2)=x+1x+2, temos
ddx[f(g(x))] =x+1x+2,cdot1(x+1)(x+2) =1(x+2)^2

Resposta

ddx[f(g(x))] =1(x+2)^2

Exercícios relacionados