Exercício 8 (D.2.6.3, D.2.6.4 E D.2.6.5)
Sejam
e
duas funções
-periódicas e Riemann integráveis.
i) Calcule as relações entre os coeficientes de Fourier
e
das funções
e
, se
, em que
é uma constante.
ii) Calcule as relações entre os coeficientes de Fourier
e
das funções
e
, se
, em que
é uma constante.
iii) Sejam
e
e
e
os coeficientes de Fourier das funções
e
, respectivamente. Calcule os coeficientes de Fourier da função
em função de
e
.
Sejam
i) Calcule as relações entre os coeficientes de Fourier
ii) Calcule as relações entre os coeficientes de Fourier
iii) Sejam
Passo 1
O enunciado trata de como variam os coeficientes de Fourier de uma função
quando fazemos:
– (i) um deslocamento de fase ;
– (ii) adicionamos uma constante ;
– (iii) formamos combinação linear .
Vamos usar as definições abaixo, bem como a linearidade das integrais e a periodicidade de período :
– (i) um deslocamento de fase
– (ii) adicionamos uma constante
– (iii) formamos combinação linear
Vamos usar as definições abaixo, bem como a linearidade das integrais e a periodicidade de período
com
e na forma exponencial
Passo 2
(i) Suponha
.
Para a forma exponencial:
Para a forma exponencial:
Fazendo
e usando
-periódica,
Para a forma trigonométrica, basta expandir
e
:
Passo 3
(ii) Suponha
com
constante.
Pela linearidade das integrais,
Pela linearidade das integrais,
e de modo análogo
para
.
A parte constante ajusta :
A parte constante ajusta
Na forma exponencial,
Passo 4
(iii) Seja
.
Novamente pela linearidade,
Novamente pela linearidade,
Resposta
(i)
(ii)
(iii)