Exercício 8 (D.2.6.3, D.2.6.4 E D.2.6.5)
Sejam f: R C e g: R C duas funções 2 pi-periódicas e Riemann integráveis.
i) Calcule as relações entre os coeficientes de Fourier an, bn e cn das funções f e g, se g(x):=f(x+alpha), em que alpha in R é uma constante.
ii) Calcule as relações entre os coeficientes de Fourier an, bn e cn das funções f e g, se g(x):=f(x)+k, em que k in C é uma constante.
iii) Sejam an^f, bn^f e cn^f e an^g, bn^g e cn^g os coeficientes de Fourier das funções f e g, respectivamente. Calcule os coeficientes de Fourier da função alpha f+beta g em função de an^f, bn^f, cn^f, an^g, bn^g e cn^g.

Passo 1

O enunciado trata de como variam os coeficientes de Fourier de uma função f quando fazemos:
– (i) um deslocamento de fase g(x)=f(x+alpha);
– (ii) adicionamos uma constante g(x)=f(x)+k;
– (iii) formamos combinação linear h(x)=alpha,f(x)+beta,g(x).
Vamos usar as definições abaixo, bem como a linearidade das integrais e a periodicidade de período 2pi:
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r),
com
an=1piintegral0^2pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral0^2pif(x)sin(nx),dx,
e na forma exponencial
f(x)=sumn=-infty^inftycne^inx, cn=12piintegral0^2pif(x)e^-inx,dx

Passo 2

(i) Suponha g(x)=f(x+alpha).
Para a forma exponencial:
cn^g =12piintegral0^2pif(x+alpha)e^-inx,dx
Fazendo t=x+alpha e usando f 2pi-periódica,
cn^g =e^inalpha,12piintegral0^2pif(t)e^-int,dt =e^inalpha,cn^f
Para a forma trigonométrica, basta expandir
cosl(n(x+alpha)r) e
sinl(n(x+alpha)r):
an^g =1piintegral0^2pif(t)cosl(n(t-alpha)r),dt =cos(nalpha),an^f+sin(nalpha),bn^f,
bn^g =1piintegral0^2pif(t)sinl(n(t-alpha)r),dt =cos(nalpha),bn^f-sin(nalpha),an^f

Passo 3

(ii) Suponha g(x)=f(x)+k com kinC constante.
Pela linearidade das integrais,
an^g =1piintegral0^2pil(f(x)+kr)cos(nx),dx =an^f+kpiintegral0^2picos(nx),dx =an^f(n>=1),
e de modo análogo bn^g=bn^f para n>=1.
A parte constante ajusta a0:
a0^g =1piintegral0^2pil(f(x)+kr),dx =a0^f+2k
Na forma exponencial,
c0^g=c0^f+k, cn^g=cn^f(nneq0)

Passo 4

(iii) Seja h(x)=alpha,f(x)+beta,g(x).
Novamente pela linearidade,
an^h =alpha,an^f+beta,an^g, bn^h =alpha,bn^f+beta,bn^g,
cn^h =alpha,cn^f+beta,cn^g

Resposta

(i)
cn^g=e^inalpha,cn^f, an^g=cos(nalpha),an^f+sin(nalpha),bn^f, bn^g=cos(nalpha),bn^f-sin(nalpha),an^f
(ii)
an^g=an^f,;bn^g=bn^f;(n>=1), a0^g=a0^f+2k;
c0^g=c0^f+k, cn^g=cn^f;(nneq0)
(iii)
an^alpha f+beta g =alpha,an^f+beta,an^g, bn^alpha f+beta g =alpha,bn^f+beta,bn^g, cn^alpha f+beta g =alpha,cn^f+beta,cn^g

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