Determine por definição a área definida por cada uma das integrais abaixo.
integral0^3 2 x^3 d x;

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área sob a curva da função f(x) = 2x^3 no intervalo de x = 0 a x = 3 . Isso está ligado ao Cálculo Integral, especificamente ao cálculo de integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de antiderivada e o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a antiderivada da função f(x) = 2x^3 . A antiderivada de x^n é x^n+1n+1 . Então, aplicando isso:
integral 2x^3 , dx = 2 cdot x^44 = x^42

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Esse teorema diz que a integral definida de a a b de f(x) , dx é igual a F(b) - F(a) , onde F é a antiderivada de f .
Portanto:
integral0^3 2x^3 , dx = x^42 |0^3 = 3^42 - 0^42

Passo 4

Vamos calcular os valores:
3^42 = 812 = 40,5
0^42 = 0
Então, a diferença é:
40,5 - 0 = 40,5

Resposta

A área definida pela integral é 40,5 unidades quadradas.

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