Determine por definição a área definida por cada uma das integrais abaixo. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área definida pela integral . Isso está relacionado ao cálculo de integrais definidas, que basicamente nos dá a área sob a curva de uma função entre dois pontos no eixo . Para isso, vamos usar as propriedades das integrais e as regras de potência para integrar cada termo da função.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em partes mais simples. A função que vamos integrar é , então podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo individualmente usando a regra de potência para integrais. A regra diz que:
onde é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular os valores nos limites de 0 a 4.
Passo 4
Integrando o primeiro termo, :
Avaliando de 0 a 4:
Passo 5
Integrando o segundo termo, -x^2:
integral -x^2 dx = -x^33
Avaliando de 0 a 4:
-x^33|0^4 = -4^33 + 0^33 = -643 + 0 = -643
Passo 6
Integrando o terceiro termo, x:
integral x dx = x^22
Avaliando de 0 a 4:
x^22|0^4 = 4^22 - 0^22 = 162 - 0 = 8
Passo 7
Agora, vamos somar os resultados das três integrais:
64 - 643 + 8 = (64 + 8) - 643 = 72 - 643
Para facilitar, vamos converter 72 para ter o mesmo denominador:
72 = 2163
Então:
2163 - 643 = 1523
Resposta
A área definida pela integral integral0^4(x^3-x^2+x) dx é 1523 unidades de área.