Determine por definição a área definida por cada uma das integrais abaixo.
integral0^4(x^3-x^2+x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área definida pela integral integral0^4(x^3-x^2+x) dx. Isso está relacionado ao cálculo de integrais definidas, que basicamente nos dá a área sob a curva de uma função entre dois pontos no eixo x. Para isso, vamos usar as propriedades das integrais e as regras de potência para integrar cada termo da função.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em partes mais simples. A função que vamos integrar é x^3 - x^2 + x, então podemos escrever:
integral0^4(x^3-x^2+x) dx = integral0^4x^3dx - integral0^4x^2dx + integral0^4x dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo individualmente usando a regra de potência para integrais. A regra diz que:
integral x^n dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração. Como estamos fazendo uma integral definida, vamos calcular os valores nos limites de 0 a 4.

Passo 4

Integrando o primeiro termo, x^3:
integral x^3 dx = x^44
Avaliando de 0 a 4:
x^44|0^4 = 4^44 - 0^44 = 2564 - 0 = 64

Passo 5

Integrando o segundo termo, -x^2:
integral -x^2 dx = -x^33
Avaliando de 0 a 4:
-x^33|0^4 = -4^33 + 0^33 = -643 + 0 = -643

Passo 6

Integrando o terceiro termo, x:
integral x dx = x^22
Avaliando de 0 a 4:
x^22|0^4 = 4^22 - 0^22 = 162 - 0 = 8

Passo 7

Agora, vamos somar os resultados das três integrais:
64 - 643 + 8 = (64 + 8) - 643 = 72 - 643
Para facilitar, vamos converter 72 para ter o mesmo denominador:
72 = 2163
Então:
2163 - 643 = 1523

Resposta

A área definida pela integral integral0^4(x^3-x^2+x) dx é 1523 unidades de área.

Exercícios relacionados