Determine (com demonstração), o supremo e o ínfimo (caso existam) em \mathbb{R} de cada um dos conjuntos abaixo:
\left\{r \in \mathbb{R}: r^{2}<2\right\}.

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar o supremo e o ínfimo, em \mathbb{R}, do conjunto
S = \{\,r\in\mathbb{R} : r^2<2\}.
O conteúdo envolvido é a caracterização de conjuntos definidos por desigualdades quadráticas e a definição de supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior).

Passo 2

Vamos primeiro descrever explicitamente S. Se r^2<2, então |r|<\sqrt{2}, o que é equivalente a
-\sqrt{2} < r < \sqrt{2}.
Reciprocamente, se -\sqrt{2}<r<\sqrt{2}, então ao quadrado vem r^2<2. Logo
S = \{\,r : -\sqrt{2}<r<\sqrt{2}\} = \bigl(-\sqrt{2},\,\sqrt{2}\bigr).

Passo 3

Mostramos agora que \sqrt{2} é o supremo de S.
  1. \emph{ \sqrt{2} é um limite superior de S.} De fato, para todo r\in S, temos r<\sqrt{2}, logo \sqrt{2} é uma cota superior de S.
  2. \emph{É o menor limite superior.} Se b<\sqrt{2}, escolha um número r tal que b<r<\sqrt{2}. Então r\in S mas r>b, o que mostra que b não pode ser cota superior de S. Portanto não existe cota superior menor que \sqrt{2}.
Dessa forma,
\sup S = \sqrt{2}.

Passo 4

De modo análogo, mostramos que -\sqrt{2} é o ínfimo de S.
  1. -\sqrt{2} é um limite inferior de S porque todo r\in S satisfaz -\sqrt{2}<r, ou seja, -\sqrt{2}\le r.
  2. Se a>-\sqrt{2}, então escolhemos r tal que -\sqrt{2}<r<a. Esse r pertence a S e \,r<a, o que impede a de ser cota inferior. Assim não há cota inferior maior que -\sqrt{2}.
Logo
\inf S = -\sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle \sup\{\,r\in\mathbb{R}:r^2<2\}=\sqrt{2},\quad \inf\{\,r\in\mathbb{R}:r^2<2\}=-\sqrt{2}.

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