Determine (com demonstração), o supremo e o ínfimo (caso existam) em
de cada um dos conjuntos abaixo:
.
Passo 1
O enunciado nos pede para determinar o supremo e o ínfimo, em
, do conjunto
O conteúdo envolvido é a caracterização de conjuntos definidos por desigualdades quadráticas e a definição de supremo (menor limite superior) e ínfimo (maior limite inferior).
Passo 2
Vamos primeiro descrever explicitamente
. Se
, então
, o que é equivalente a
Reciprocamente, se
, então ao quadrado vem
. Logo
Passo 3
Mostramos agora que
é o supremo de
.
- \emph{
é um limite superior de .} De fato, para todo , temos , logo é uma cota superior de . - \emph{É o menor limite superior.} Se
, escolha um número tal que . Então mas , o que mostra que não pode ser cota superior de . Portanto não existe cota superior menor que .
Dessa forma,
Passo 4
De modo análogo, mostramos que
é o ínfimo de
.
-
é um limite inferior de porque todo satisfaz , ou seja, . - Se
, então escolhemos tal que . Esse pertence a e , o que impede de ser cota inferior. Assim não há cota inferior maior que .
Logo