Determine (com demonstração), o supremo e o ínfimo (caso existam) em
de cada um dos conjuntos abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede o ínfimo e o supremo do conjunto
Vamos usar as definições:
– Um número é um limite inferior (minorante) de
se para todo
tivermos
. O ínfimo é o maior entre todos os limitantes inferiores.
– Um número é um limite superior (majorante) de
se para todo
tivermos
. O supremo é o menor entre todos os limitantes superiores.
– Um número
– Um número
Passo 2
Mostramos que
é o ínfimo de
.
(1) Para todo temos, por definição,
. Logo
é uma minorante de
.
(2) Seja . Então
, e podemos escolher
(1) Para todo
(2) Seja
que satisfaz
. Como ainda
, segue
e
. Portanto
não é minorante.
Dessa forma é a maior minorante, isto é,
Dessa forma
Passo 3
Mostramos que
é o supremo de
.
(1) Para todo temos
, logo
. Assim
é uma majorante de
.
(2) Seja . Então
, e escolhemos
(1) Para todo
(2) Seja
que satisfaz
. Como
, vem
e
. Logo
não é majorante.
Portanto é a menor majorante, ou seja,
Portanto