Determine (com demonstração), o supremo e o ínfimo (caso existam) em \mathbb{R} de cada um dos conjuntos abaixo:
[-15,7).

Passo 1

O enunciado pede o ínfimo e o supremo do conjunto
S = [-15,\,7) = \{\,x\in\mathbb{R}\mid -15 \le x < 7\}.
Vamos usar as definições:
– Um número m é um limite inferior (minorante) de S se para todo x\in S tivermos m \le x. O ínfimo é o maior entre todos os limitantes inferiores.
– Um número M é um limite superior (majorante) de S se para todo x\in S tivermos x \le M. O supremo é o menor entre todos os limitantes superiores.

Passo 2

Mostramos que -15 é o ínfimo de S.
(1) Para todo x\in S temos, por definição, x \ge -15. Logo -15 é uma minorante de S.
(2) Seja \ell > -15. Então \ell - (-15) > 0, e podemos escolher
x = -15 + \frac{\ell - (-15)}{2},
que satisfaz -15 < x < \ell. Como ainda -15 \le x < 7, segue x\in S e x < \ell. Portanto \ell não é minorante.
Dessa forma -15 é a maior minorante, isto é,
\inf S = -15.

Passo 3

Mostramos que 7 é o supremo de S.
(1) Para todo x\in S temos x < 7, logo x \le 7. Assim 7 é uma majorante de S.
(2) Seja u < 7. Então 7 - u > 0, e escolhemos
x = u + \frac{7 - u}{2},
que satisfaz u < x < 7. Como -15 \le x < 7, vem x\in S e x > u. Logo u não é majorante.
Portanto 7 é a menor majorante, ou seja,
\sup S = 7.

Resposta

\inf[-15,7) = -15 \sup[-15,7) = 7

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