Determine (com demonstração), o supremo e o ínfimo (caso existam) em \mathbb{R} de cada um dos conjuntos abaixo:
(-\infty, 3).

Passo 1

O conjunto é
A = (-\infty,3) = \{\,x\in\mathbb{R}\mid x<3\}.
Queremos encontrar, usando as definições, o supremo (menor cota superior) e o ínfimo (maior cota inferior) de A em \mathbb{R}.

Passo 2

Mostramos que 3 é uma cota superior de A. De fato, para todo x\in A temos x<3, então x\le 3.
Logo, 3 é uma cota superior de A.

Passo 3

Provar que 3 é a menor cota superior, ou seja, o supremo. Seja \beta qualquer cota superior de A. Então, por definição de cota superior, para todo x\in A vale x\le \beta. Suponha, por absurdo, que \beta<3. Então escolha
x = \frac{\beta+3}{2}.
Observamos que \beta<3 implica \beta<(\beta+3)/2<3, logo x\in A. Mas também x=(\beta+3)/2>\beta, o que contradiz o fato de \beta ser cota superior. Portanto, não pode ser \beta<3, ou seja, toda cota superior \beta satisfaz \beta\ge3. Assim, 3 é o supremo de A:
\sup A = 3.

Passo 4

Agora analisamos a existência de ínfimo. Para que \gamma seja cota inferior de A, precisaríamos de \gamma\le x para todo x\in A. Mas A é o intervalo (-\infty,3), logo é ilimitado para a esquerda. De fato, dado qualquer \gamma\in\mathbb{R}, podemos escolher
x = \gamma - 1,
que satisfaz x<\gamma e, como x<\gamma<3, está em A. Isso mostra que \gamma não pode ser cota inferior. Concluímos que não existe cota inferior em \mathbb{R}, e portanto não existe ínfimo em \mathbb{R}.

Resposta

\sup(-\infty,3)=3
O ínfimo de (-\infty,3) não existe em \mathbb{R}.

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