Determine (com demonstração), o supremo e o ínfimo (caso existam) em
de cada um dos conjuntos abaixo:
.
Passo 1
O conjunto é
Queremos encontrar, usando as definições, o supremo (menor cota superior) e o ínfimo (maior cota inferior) de
em
.
Passo 2
Mostramos que
é uma cota superior de
. De fato, para todo
temos
, então
Logo, é uma cota superior de
.
Logo,
Passo 3
Provar que
é a menor cota superior, ou seja, o supremo. Seja
qualquer cota superior de
. Então, por definição de cota superior, para todo
vale
. Suponha, por absurdo, que
. Então escolha
Observamos que
implica
, logo
. Mas também
, o que contradiz o fato de
ser cota superior. Portanto, não pode ser
, ou seja, toda cota superior
satisfaz
. Assim,
é o supremo de
:
Passo 4
Agora analisamos a existência de ínfimo. Para que
seja cota inferior de
, precisaríamos de
para todo
. Mas
é o intervalo
, logo é ilimitado para a esquerda. De fato, dado qualquer
, podemos escolher
que satisfaz
e, como
, está em
. Isso mostra que
não pode ser cota inferior. Concluímos que não existe cota inferior em
, e portanto não existe ínfimo em
.
Resposta
O ínfimo de