Determine a densidade atômica linear das direções [100], [110] e [111] para a célula unitária CFC e defina qual é a direção com maior densidade atômica linear em [átomos/m].

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a densidade atômica linear (DAL) nas direções [100], [110] e [111] de uma célula unitária cúbica de face centrada (CFC). O assunto é “densidade atômica linear” em materiais cristalinos. Para resolver vamos precisar:
  1. Saber onde estão os átomos na CFC (nos cantos e nos centros de face).
  2. Entender o que é DAL: número de centros de átomos que caem exatamente numa linha na direção dada, dividido pelo comprimento desse trecho.
  3. Usar a constante de rede e geometria das direções (comprimento do vetor e posições dos átomos ao longo dele).

Passo 2

Definindo a Densidade Atômica Linear (DAL):
DAL = (número de átomos cujos centros estão alinhados ao longo da direção dentro de uma célula) ÷ (comprimento desse trecho de célula na direção).
Em fórmula:
rholinear = Nátomos na linhaLcélula áé
Na CFC, os átomos estão:
  • 8 cantos em
  • 6 centros de face em

Passo 3

Direção [100]:
  1. Vetor de repetição vai de rho[100] = 2a l(átomos por metror) até . Comprimento .
  2. Quais átomos caem nessa linha?
    • Um canto em .
    • Outro canto em .
      Nenhum átomo de face fica exatamente sobre essa linha.
  3. Total de átomos na linha = 2
  4. Então
á

Passo 4

Direção [110]:
  1. Vetor de repetição vai de L = raiza^2 + a^2 + 0^2 = araiz2 até rho[110] = 3araiz2 . Comprimento
  1. Átomos na linha:
    • Canto em .
    • Centro de face em , porque está na linha [110].
    • Canto em .
  2. Total de átomos = 3
  3. Logo

Passo 5

Direção [111]:
  1. Vetor vai de L = raiza^2 + a^2 + a^2 = araiz3 até rho[111] = 2araiz3 . Comprimento
  1. Átomos na linha:
    • Canto em .
    • Não há centro de face nem outro átomo no meio dessa diagonal na CFC (o ponto não é ocupado em CFC).
    • Canto em .
  2. Total de átomos = 2
  3. Então

Resposta

As densidades atômicas lineares são:
rho[100] = 2a, rho[110] = 3araiz2, rho[111] = 2araiz3
A direção de maior densidade linear é [110], pois
3araiz2 approx 2,12a
é maior que e .

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