Determine a densidade atômica linear das direções [100], [110] e [111] para a célula unitária CFC e defina qual é a direção com maior densidade atômica linear em [átomos/m].
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a densidade atômica linear (DAL) nas direções [100], [110] e [111] de uma célula unitária cúbica de face centrada (CFC). O assunto é “densidade atômica linear” em materiais cristalinos. Para resolver vamos precisar:
- Saber onde estão os átomos na CFC (nos cantos e nos centros de face).
- Entender o que é DAL: número de centros de átomos que caem exatamente numa linha na direção dada, dividido pelo comprimento desse trecho.
- Usar a constante de rede
e geometria das direções (comprimento do vetor e posições dos átomos ao longo dele).
Passo 2
Definindo a Densidade Atômica Linear (DAL):
DAL = (número de átomos cujos centros estão alinhados ao longo da direção dentro de uma célula) ÷ (comprimento desse trecho de célula na direção).
Em fórmula:
DAL = (número de átomos cujos centros estão alinhados ao longo da direção dentro de uma célula) ÷ (comprimento desse trecho de célula na direção).
Em fórmula:
Na CFC, os átomos estão:
- 8 cantos em
- 6 centros de face em
Passo 3
Direção [100]:
- Vetor de repetição vai de
até . Comprimento . - Quais átomos caem nessa linha?
- Um canto em
. - Outro canto em
.
Nenhum átomo de face fica exatamente sobre essa linha.
- Um canto em
- Total de átomos na linha = 2
- Então
Passo 4
Direção [110]:
- Vetor de repetição vai de
até . Comprimento
- Átomos na linha:
- Canto em
. - Centro de face em
, porque está na linha [110]. - Canto em
.
- Canto em
- Total de átomos = 3
- Logo
Passo 5
Direção [111]:
- Vetor vai de
até . Comprimento
- Átomos na linha:
- Canto em
. - Não há centro de face nem outro átomo no meio dessa diagonal na CFC (o ponto
não é ocupado em CFC). - Canto em
.
- Canto em
- Total de átomos = 2
- Então
Resposta
As densidades atômicas lineares são:
A direção de maior densidade linear é [110], pois
é maior que
e
.