Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico:
\vec{D}=8 x y \vec{a}_{x}+4 x^{2} \vec{a}_{y}\left[C / m^{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a densidade de cargas devido à densidade de fluxo elétrico” dada por \vec{D}=8xy\,\vec{a}_x+4x^{2}\,\vec{a}_y com unidades \left[\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}\right]. Informações importantes fornecidas:

\vec{D} tem componentes
\;D_x=8xy,\quad D_y=4x^{2},\quad D_z=0.
A unidade de \vec{D} é \left[\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}\right].
A tarefa é obter a densidade de carga (volumétrica) associada a essa \vec{D}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinha): a densidade volumétrica de carga associada ao campo \vec{D} é dada pelo divergente de \vec{D}. Em notação matemática,
\nabla\cdot\vec{D}=\rho_v.
Aqui \nabla\cdot\vec{D} é o operador divergente aplicado ao campo vetorial \vec{D} e \rho_v é a densidade de carga volumétrica (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}). O divergente em coordenadas cartesianas é
\nabla\cdot\vec{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}.
Explicando cada termo: \frac{\partial D_x}{\partial x} é a derivada parcial da componente x de \vec{D} em relação a x (tratando y e z como constantes), e assim por diante.

Passo 3

Calculemos \frac{\partial D_x}{\partial x}. Temos D_x=8xy. Ao derivar em relação a x, y é tratado como constante, então
\frac{\partial D_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(8xy)=8y.
Raciocínio: a derivada de x em relação a x é 1, e o fator constante 8y permanece.

Passo 4

Calculemos \frac{\partial D_y}{\partial y}. Temos D_y=4x^{2}. Ao derivar em relação a y, x é tratado como constante, por isso
\frac{\partial D_y}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(4x^{2})=0.
Raciocínio: 4x^{2} não depende de y, logo a derivada parcial é zero.

Passo 5

Calculemos \frac{\partial D_z}{\partial z}. Como D_z=0, claramente
\frac{\partial D_z}{\partial z}=0.

Passo 6

Somando as contribuições para o divergente:
\nabla\cdot\vec{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}=8y+0+0=8y.
Portanto a densidade de carga volumétrica é \rho_v=8y. Em unidades:
\rho_v=8y\quad\left[\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}\right].
Pequeno exemplo numérico: se y=2 (metros), então \rho_v=8\cdot 2=16\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}.

Resposta

\rho_v=8y\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}

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