Considere a região R no plano x y caracterizada por
  • a região está delimitada pela curva polar r=2 \operatorname{sen}(3 \theta) e
  • a região está restrita ao primeiro quadrante
    Dentre as opções a seguir, determine a área da região R :
Obs.: mostre seu trabalho, justificando sua resposta.
Não calcule a integral.
Notando que haverá um desconto de -3 pontos no questionário, caso você responda mas de fato não tenha esboçado e resolvido o problema e escaneado a resolução para o PDF anexado.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \int_{0}^{\pi / 2} 2 \operatorname{sen}^{2}(3 \theta) d \theta
\bigcirc b. \int_{0}^{\pi / 3} \operatorname{sen}(3 \theta) d \theta
\bigcirc c. \int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}(3 \theta) d \theta
\bigcirc d. \int_{0}^{\pi / 3} 2 \operatorname{sen}^{2}(3 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma escolha entre as alternativas:
  • A região R no plano xy é delimitada pela curva polar r = 2\operatorname{sen}(3\theta).
  • A região R está restrita ao primeiro quadrante (ou seja, só queremos a parte da curva que está com x\ge0 e y\ge0).
  • Pergunta: qual das alternativas representa a área de R? As alternativas são
    • a. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} 2 \operatorname{sen}^{2}(3\theta)\,d\theta
    • b. \displaystyle \int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta
    • c. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta
    • d. \displaystyle \int_{0}^{\pi/3} 2 \operatorname{sen}^{2}(3\theta)\,d\theta

Passo 2

Regra importante (fórmula que vou usar) — área em coordenadas polares: se uma curva é dada por r=f(\theta) e a região está descrita pelo conjunto de pontos obtidos quando \theta varia de a até b com r\ge0, então a área A dessa região é
A=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} \bigl(f(\theta)\bigr)^{2}\,d\theta.
Explicando essa fórmula de forma bem direta: para um ângulo pequeno \Delta\theta o pedaço de região é aproximadamente um setor circular de raio r e ângulo \Delta\theta, cuja área é \tfrac{1}{2}r^{2}\Delta\theta. Somando (integrando) esses setores obtemos \tfrac{1}{2}\int r^{2}d\theta. Aqui cada símbolo significa:
  • \theta: o ângulo polar que varre a região;
  • r=f(\theta): o raio (distância à origem) da curva para cada \theta;
  • os limites a,b são os valores de \theta que descrevem exatamente a parte da curva que produz a região desejada.

Passo 3

Precisamos achar os limites a e b (valores de \theta) que descrevem a parte da curva que fica no primeiro quadrante e para as quais r\ge0. Temos r=2\operatorname{sen}(3\theta). Então r\ge0 quando \operatorname{sen}(3\theta)\ge0.
Resolver \operatorname{sen}(3\theta)\ge0 no intervalo \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (primeiro quadrante):
  • \operatorname{sen}(t)\ge0 quando t\in[0,\pi]+2k\pi.
  • Tomando t=3\theta, isso dá 3\theta\in[0,\pi]+2k\pi.
  • Para \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] temos 3\theta\in[0,\tfrac{3\pi}{2}]. A interseção de [0,\tfrac{3\pi}{2}] com os intervalos onde seno é não-negativo é apenas 3\theta\in[0,\pi], porque o próximo intervalo [2\pi,3\pi] está além de \tfrac{3\pi}{2}.
  • Portanto 3\theta\in[0,\pi] implica \theta\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{3}\bigr].
Conclusão: dentro do primeiro quadrante ( \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]) a curva tem r\ge0 somente quando \theta varia de 0 até \tfrac{\pi}{3}. Para \theta\in(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2}] temos \operatorname{sen}(3\theta)<0, isto é, r<0. Em coordenadas polares r<0 significa que o ponto está na direção oposta (ângulo \theta+\pi) — portanto essas porções com r<0 não estão localizadas no primeiro quadrante e não devem ser incluídas para a área de R restrita ao primeiro quadrante.

Passo 4

Aplicando a fórmula da área com f(\theta)=2\operatorname{sen}(3\theta) e com os limites a=0 e b=\tfrac{\pi}{3}, temos
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3} \bigl(2\operatorname{sen}(3\theta)\bigr)^{2}\,d\theta.
Agora simplifico algebricamente dentro da integral (sem calcular a integral, só reorganizando constantes):
\bigl(2\operatorname{sen}(3\theta)\bigr)^{2}=4\operatorname{sen}^{2}(3\theta),
então
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/3} 4\operatorname{sen}^{2}(3\theta)\,d\theta =2\int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sen}^{2}(3\theta)\,d\theta.

Passo 5

Agora comparo com as alternativas:
  • a. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} 2 \operatorname{sen}^{2}(3\theta)\,d\theta — usa [0,\tfrac{\pi}{2}] como limite; errado porque para \theta\in(\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{2}] temos r<0 e essas partes não pertencem ao primeiro quadrante.
  • b. \displaystyle \int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta — falta o quadrado e o fator correto; não corresponde à fórmula \tfrac{1}{2}\int r^{2}d\theta.
  • c. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \operatorname{sen}(3\theta)\,d\theta — também incorreta por mesmos motivos (limites e falta de quadrado/fator).
  • d. \displaystyle \int_{0}^{\pi/3} 2 \operatorname{sen}^{2}(3\theta)\,d\theta — é exatamente a expressão obtida para A, pois vimos que A=2\int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sen}^{2}(3\theta)\,d\theta.

Passo 6

Portanto a alternativa correta é a d. Não calculei a integral, apenas montei a expressão de área e comparei com as opções.

Resposta

d. \displaystyle \int_{0}^{\pi/3} 2 \operatorname{sen}^{2}(3\theta)\,d\theta

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