Considere a região
no plano
caracterizada por
- a região está delimitada pela curva polar
e
- a região está restrita ao primeiro quadrante
Dentre as opções a seguir, determine a área da região
:
Obs.: mostre seu trabalho, justificando sua resposta.
Não calcule a integral.
Notando que haverá um desconto de -3 pontos no questionário, caso você responda mas de fato não tenha esboçado e resolvido o problema e escaneado a resolução para o PDF anexado.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
Dentre as opções a seguir, determine a área da região
Não calcule a integral.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma escolha entre as alternativas:
- A região
no plano é delimitada pela curva polar . - A região
está restrita ao primeiro quadrante (ou seja, só queremos a parte da curva que está com e ). - Pergunta: qual das alternativas representa a área de
? As alternativas são - a.
- b.
- c.
- d.
- a.
Passo 2
Regra importante (fórmula que vou usar) — área em coordenadas polares: se uma curva é dada por
e a região está descrita pelo conjunto de pontos obtidos quando
varia de
até
com
, então a área
dessa região é
Explicando essa fórmula de forma bem direta: para um ângulo pequeno
o pedaço de região é aproximadamente um setor circular de raio
e ângulo
, cuja área é
. Somando (integrando) esses setores obtemos
. Aqui cada símbolo significa:
-
: o ângulo polar que varre a região; -
: o raio (distância à origem) da curva para cada ; - os limites
são os valores de que descrevem exatamente a parte da curva que produz a região desejada.
Passo 3
Precisamos achar os limites
e
(valores de
) que descrevem a parte da curva que fica no primeiro quadrante e para as quais
. Temos
. Então
quando
.
Resolver
no intervalo
(primeiro quadrante):
-
quando . - Tomando
, isso dá . - Para
temos . A interseção de com os intervalos onde seno é não-negativo é apenas , porque o próximo intervalo está além de . - Portanto
implica .
Conclusão: dentro do primeiro quadrante (
) a curva tem
somente quando
varia de
até
. Para
temos
, isto é,
. Em coordenadas polares
significa que o ponto está na direção oposta (ângulo
) — portanto essas porções com
não estão localizadas no primeiro quadrante e não devem ser incluídas para a área de
restrita ao primeiro quadrante.
Passo 4
Aplicando a fórmula da área com
e com os limites
e
, temos
Agora simplifico algebricamente dentro da integral (sem calcular a integral, só reorganizando constantes):
então
Passo 5
Agora comparo com as alternativas:
- a.
— usa como limite; errado porque para temos e essas partes não pertencem ao primeiro quadrante. - b.
— falta o quadrado e o fator correto; não corresponde à fórmula . - c.
— também incorreta por mesmos motivos (limites e falta de quadrado/fator). - d.
— é exatamente a expressão obtida para , pois vimos que
Passo 6
Portanto a alternativa correta é a d. Não calculei a integral, apenas montei a expressão de área e comparei com as opções.
Resposta
d.