Determine a densidade condicional do parâmetro W dado que o segurado sofreu 
  acidentes ao longo de um ano.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar a densidade condicional do parâmetro 
  dado que o segurado sofreu 
  acidentes ao longo de um ano. Isso envolve conceitos de estatística bayesiana, onde atualizamos nossa crença sobre o parâmetro 
  com base nas observações dos acidentes.
Passo 2
Para resolver esse problema, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos permite atualizar a distribuição de probabilidade de um parâmetro com base em evidências novas. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Aqui, 
  é a densidade condicional que queremos encontrar, 
  é a verossimilhança dos dados dado 
 , 
  é a distribuição a priori de 
 , e 
  é a probabilidade dos dados observados.
Passo 3
Primeiro, precisamos identificar a verossimilhança 
 . Vamos assumir que o número de acidentes 
  segue uma distribuição de Poisson, que é comum para contar eventos que acontecem de forma independente ao longo do tempo. A função de verossimilhança para a distribuição de Poisson é:
Onde:
- 
é a base do logaritmo natural,  - 
é a taxa média de acidentes,  - 
é o fatorial de .  
Passo 4
Em seguida, precisamos definir a distribuição a priori 
 . Vamos supor que 
  segue uma distribuição Gamma, que é uma escolha comum por ser conjugada à distribuição de Poisson, facilitando os cálculos. A função de densidade da distribuição Gamma é:
Onde:
- 
é o parâmetro de forma,  - 
é o parâmetro de taxa,  - 
é a função gama.  
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de Bayes substituindo as expressões de 
  e 
 :
Simplificando os termos:
Passo 6
Reconhecemos que essa forma é a função de densidade da distribuição Gamma com novos parâmetros:
Portanto, a densidade condicional 
  é uma distribuição Gamma com esses novos parâmetros.
Resposta
A densidade condicional do parâmetro 
  dado que o segurado sofreu 
  acidentes ao longo de um ano é uma distribuição Gamma com parâmetros 
  e 
 . Ou seja,