Encontre 
 . (Em outras palavras, encontre a probabilidade de que o dispositivo de limpeza reduza a quantidade de poluente em 
  ou mais.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente encontrar a probabilidade de que 
 . Isso significa que queremos saber a chance de o dispositivo de limpeza reduzir a quantidade de poluente em 
  ou mais. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de probabilidade conjunta e distribuições de variáveis aleatórias. Precisaremos entender como as variáveis 
  e 
  se relacionam e quais são suas distribuições.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que 
  e 
  são variáveis aleatórias contínuas e que conhecemos suas funções de densidade de probabilidade, 
  e 
 . A probabilidade que queremos calcular é 
 . Isso significa que queremos a área no plano 
  onde 
  é pelo menos três vezes maior que 
 .
Passo 3
Para encontrar essa probabilidade, vamos usar a probabilidade conjunta de 
  e 
 . A probabilidade conjunta 
  nos dá a densidade de probabilidade conjunta das duas variáveis. A probabilidade 
  pode ser calculada integrando a função de densidade conjunta sobre a região onde 
 .
Passo 4
Matematicamente, podemos expressar isso da seguinte forma:
Aqui, estamos primeiro integrando em relação a 
  de 
  até o infinito para cada 
 , e depois integrando em relação a 
  de 0 até o infinito.
Passo 5
Se as variáveis 
  e 
  forem independentes, a função de densidade conjunta 
  se simplifica para o produto das densidades individuais:
Nesse caso, a integral fica:
Passo 6
Vamos supor que sabemos as funções de densidade 
  e 
 . O próximo passo é realizar a integração interna em relação a 
 :
Isso representa a probabilidade de 
  ser pelo menos 
  para um valor fixo de 
 .
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original, temos:
Isso significa que estamos somando todas as probabilidades de 
  ponderadas pela densidade de 
 .
Resposta
Então, a probabilidade de que o dispositivo de limpeza reduza a quantidade de poluente em 
  ou mais é dada por:
Essa expressão pode ser calculada substituindo as funções de densidade específicas de 
  e 
  e resolvendo as integrais.