Encontre a função de densidade condicional da quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo de limpeza não está operando, dada a quantidade por amostra quando está funcionando.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos pediu para encontrar a função de densidade condicional da quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo de limpeza não está operando, dado que sabemos a quantidade de poluente quando ele está funcionando. Isso envolve conceitos de probabilidade e estatística, especificamente funções de densidade conjunta e condicional. Vamos precisar entender como relacionar essas funções para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de densidade condicional. Ela nos dá a probabilidade de uma variável aleatória assumir certos valores, dado que outra variável já está em um estado específico. No nosso caso, queremos saber a densidade de poluente quando o dispositivo não está funcionando, dado que sabemos a quantidade quando ele está funcionando.
Passo 3
Para encontrar a função de densidade condicional, usamos a seguinte fórmula:
Aqui:
- 
é a função de densidade condicional que queremos encontrar.  - 
é a função de densidade conjunta das duas variáveis.  - 
é a função de densidade marginal da quantidade de poluente quando o dispositivo está funcionando.  
Passo 4
Vamos interpretar isso no contexto do nosso problema:
- 
: Quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo não está operando.  - 
: Quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo está operando.  
Então, 
  representa a probabilidade conjunta de termos uma certa quantidade de poluente tanto com o dispositivo funcionando quanto sem ele. E 
  é apenas a probabilidade de termos uma certa quantidade de poluente com o dispositivo funcionando, independente de estar operando ou não.
Passo 5
Para aplicar a fórmula, precisamos conhecer a função de densidade conjunta 
  e a função de densidade marginal 
 . Se essas funções forem dadas ou puderem ser derivadas a partir de dados ou informações adicionais, podemos substituir na fórmula e calcular a densidade condicional.
Passo 6
Sem informações específicas sobre 
  e 
 , podemos expressar a solução de forma geral. Assim, a função de densidade condicional da quantidade de poluente quando o dispositivo não está operando, dado a quantidade quando está operando, é:
Resposta
A função de densidade condicional da quantidade de poluente por amostra quando o dispositivo de limpeza não está operando, dado a quantidade por amostra quando está funcionando, é: