(a) Determine a densidade de corrente J.
(b) Integre J sobre a superfície circular rho <= 1,0, para determinar a corrente total que passa pela superfície na direção az.
© Calcule a corrente total mais uma vez, desta vez por uma integral de linha em volta do caminho circular rho=1,0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou tem três partes:
(a) Encontrar a densidade de corrente $ \mathbf{J} $.
(b) Integrar $ \mathbf{J} $ sobre uma superfície circular para descobrir a corrente total que passa na direção $ \mathbf{a}_z $.
© Calcular a corrente total novamente, mas usando uma integral de linha ao redor de um caminho circular.
Vamos precisar entender o que é densidade de corrente, como integrar vetores sobre superfícies e trajetórias, e aplicar conceitos de eletromagnetismo. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Determinar a densidade de corrente $ \mathbf{J} $.
A densidade de corrente $ \mathbf{J} $ descreve quanto de corrente está passando por unidade de área em uma direção específica. Geralmente, ela está relacionada a campos elétricos ou magnéticos por meio de leis como a Lei de Ohm ou as equações de Maxwell.
Sem informações específicas sobre o sistema, vamos supor que temos uma relação direta entre o campo elétrico $ \mathbf{E} $ e $ \mathbf{J} $ pela Lei de Ohm para um meio condutor:
J
Onde:
  • $ \sigma $ é a condutividade elétrica do material.
  • $ \mathbf{E} $ é o campo elétrico.
Se você tiver uma expressão para $ \mathbf{E} $, basta multiplicar pela condutividade $ \sigma $ para encontrar $ \mathbf{J} $.

Passo 3

Parte (b): Integrar $ \mathbf{J} $ sobre a superfície circular para determinar a corrente total na direção $ \mathbf{a}_z $.
A corrente total $ I $ que atravessa uma superfície $ S $ pode ser calculada pela integral da densidade de corrente sobre essa superfície:
J
Aqui, $ d\mathbf{S} $ é o elemento de área vetorial da superfície, apontando na direção $ \mathbf{a}_z $.
Vamos considerar a superfície circular definida por $ \rho \leq 1 $, $ 0 < \phi < 2\pi $, $ z = 0 $ em coordenadas cilíndricas.
Se $ \mathbf{J} $ tem uma componente na direção $ z $, digamos $ J_z $, então a integral simplifica para:
az
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de área $ dS $ é $ \rho , d\rho , d\phi $. Então:
I
Substitua $ J_z $ pela expressão encontrada na parte (a) e resolva a integral para encontrar $ I $.

Passo 4

Parte ©: Calcular a corrente total novamente usando uma integral de linha ao redor do caminho circular $ \rho = 1 $, $ 0 < \phi < 2\pi $, $ z = 0 $.
Aqui, vamos utilizar a equação de Ampère para relacionar a circulação do campo magnético $ \mathbf{B} $ com a corrente total que passa através da superfície delimitada pela trajetória.
A Lei de Ampère é dada por:
rho = 1
Onde:
  • $ \partial S $ é o caminho circular $ \rho = 1 $, $ z = 0 $.
  • $ d\mathbf{l} $ é o elemento diferencial de comprimento ao longo do caminho.
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.
  • $ I_{total} $ é a corrente total que queremos encontrar.
Para encontrar $ I_{total} $, reescrevemos a equação:
0 < phi < 2pi
Calcule a integral de linha da componente tangencial de $ \mathbf{B} $ ao longo do caminho circular. Se $ \mathbf{B} $ é conhecido, substitua na integral e resolva para $ I_{total} $.

Resposta

Seguindo os passos acima, determinamos a densidade de corrente $ \mathbf{J} $, integramos sobre a superfície circular para encontrar a corrente total na direção $ \mathbf{a}_z $, e calculamos novamente a corrente total usando uma integral de linha ao redor do caminho circular. A corrente total $ I $ obtida será consistente nas duas abordagens, confirmando a aplicação correta das leis de eletromagnetismo envolvidas.

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