Determine a densidade linear da direção [110] para o ferro com estrutura CFC
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a densidade linear de átomos na direção [110] de um cristal de ferro CFC (cúbica de face centrada). O assunto aqui é “densidade linear em cristais”. Pra resolver, vamos precisar saber:
- O que é densidade linear e como calculá-la;
- Quantos átomos “efetivos” caem nessa direção [110] dentro de uma célula unitária CFC;
- Qual o comprimento do vetor [110] em função do parâmetro de rede
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de densidade linear (
) em um cristal:
Isso quer dizer que a gente conta quantos átomos “participam” desse pedacinho de linha entre a origem
e o ponto
em unidades de célula, e depois divide pelo tamanho real dessa linha (em metros, ou em função de
).
Passo 3
Agora, quantos átomos “caem” exatamente sobre a linha [110] de uma célula CFC?
- Há um átomo no canto
, mas sendo canto ele é dividido por 8 células, então contribui com . - Há um átomo no canto oposto
, idem, contribui com . - E tem um átomo de face centrada em
, que fica totalmente na célula (contribuição 1).
Somando essas “frações efetivas”:
Mas atenção: isso é se a gente considerasse a linha até
. Como a densidade linear geralmente considera o segmento inteiro numa célula, a gente vê que atravessa duas metades de átomos de canto (total ½+½=1) mais o inteiro da face, ou seja, dá 2 átomos efetivos.
Passo 4
O comprimento desse vetor [110] em termos do parâmetro de rede
é
Passo 5
Bora juntar: número de átomos efetivos
e comprimento
. Logo
Resposta
A densidade linear na direção [110] do ferro CFC é