Determine a densidade linear da direção [110] para o ferro com estrutura CFC

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a densidade linear de átomos na direção [110] de um cristal de ferro CFC (cúbica de face centrada). O assunto aqui é “densidade linear em cristais”. Pra resolver, vamos precisar saber:
  1. O que é densidade linear e como calculá-la;
  2. Quantos átomos “efetivos” caem nessa direção [110] dentro de uma célula unitária CFC;
  3. Qual o comprimento do vetor [110] em função do parâmetro de rede .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de densidade linear ( rho = número de átomos na direção consideradacomprimento do caminho nessa célula unitária ) em um cristal:
úáçãéá
Isso quer dizer que a gente conta quantos átomos “participam” desse pedacinho de linha entre a origem e o ponto em unidades de célula, e depois divide pelo tamanho real dessa linha (em metros, ou em função de ).

Passo 3

Agora, quantos átomos “caem” exatamente sobre a linha [110] de uma célula CFC?
  • Há um átomo no canto 18 + 1 + 18 = 18 + 18 + 1 = 14 + 1 = 1,25 , mas sendo canto ele é dividido por 8 células, então contribui com .
  • Há um átomo no canto oposto , idem, contribui com .
  • E tem um átomo de face centrada em , que fica totalmente na célula (contribuição 1).
Somando essas “frações efetivas”:
Mas atenção: isso é se a gente considerasse a linha até . Como a densidade linear geralmente considera o segmento inteiro numa célula, a gente vê que atravessa duas metades de átomos de canto (total ½+½=1) mais o inteiro da face, ou seja, dá 2 átomos efetivos.

Passo 4

O comprimento desse vetor [110] em termos do parâmetro de rede L = araiz1^2 + 1^2 + 0^2 = araiz2 é

Passo 5

Bora juntar: número de átomos efetivos rho = 2 átomosaraiz2 = 2araiz2 = raiz2a e comprimento . Logo
á

Resposta

A densidade linear na direção [110] do ferro CFC é
boxedrho = raiz2a

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