a) Determine os índices de direção para os vetores com as seguintes coordenadas finais, considerando a origem em (
):
-
-
-
b) Represente graficamente as direções [110], [101] e [111] em um sistema cúbico simples.
b) Represente graficamente as direções [110], [101] e [111] em um sistema cúbico simples.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão é de Cristalografia (vetores em redes cristalinas).
a) A gente precisa achar os “índices de direção”
de três vetores que partem da origem até os pontos dados.
b) Depois, desenhar no cubo simples os vetores [110], [101] e [111].
Para isso, só precisamos saber que, em cristalografia, se um vetor vai de (0,0,0) a (x,y,z), seus índices de direção [u v w] são simplesmente os componentes (x,y,z) reduzidos ao menor inteiro comum.
Para isso, só precisamos saber que, em cristalografia, se um vetor vai de (0,0,0) a (x,y,z), seus índices de direção [u v w] são simplesmente os componentes (x,y,z) reduzidos ao menor inteiro comum.
Passo 2
Vamos achar cada [u v w]:
-
Vetor até (1,2,0):
– Componentes:.
– Maior divisor comum de (1,2,0) é 1, então os índices são -
Vetor até (–1,1,1):
– Componentes:.
– GCD de (–1,1,1) é 1, então(Na prática, escrevemos o “–1” normalmente:.) -
Vetor até (2,–1,1):
– Componentes:.
– GCD de (2,–1,1) é 1, logo
Passo 3
Agora a parte gráfica no cubo simples:
– Vetor [110]: sai da origem e vai até o ponto (1,1,0). Fica no plano
, a 45° entre os eixos
e
.
– Vetor [101]: sai da origem e vai até (1,0,1). Fica no plano , a 45° entre
e
.
– Vetor [111]: sai da origem e vai até (1,1,1). É a diagonal espacial do cubo (conecta vértice de baixo em (0,0,0) ao vértice oposto em cima).
– Vetor [101]: sai da origem e vai até (1,0,1). Fica no plano
– Vetor [111]: sai da origem e vai até (1,1,1). É a diagonal espacial do cubo (conecta vértice de baixo em (0,0,0) ao vértice oposto em cima).
Se você desenhar um cubo com eixos
,
,
e marcar esses pontos, basta traçar setas da origem até cada um deles.
Resposta
a) Índices de direção:
b) No cubo simples, [110] é a aresta do quadrado
na diagonal, [101] a diagonal do quadrado
e [111] a diagonal espacial do cubo.