a) Determine os índices de direção para os vetores com as seguintes coordenadas finais, considerando a origem em ( 0,0,0 ):
  • (1,2,0)
  • (-1,1,1)
  • (2,-1,1)
    b) Represente graficamente as direções [110], [101] e [111] em um sistema cúbico simples.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é de Cristalografia (vetores em redes cristalinas).
a) A gente precisa achar os “índices de direção” uvw de três vetores que partem da origem até os pontos dados.
b) Depois, desenhar no cubo simples os vetores [110], [101] e [111].
Para isso, só precisamos saber que, em cristalografia, se um vetor vai de (0,0,0) a (x,y,z), seus índices de direção [u v w] são simplesmente os componentes (x,y,z) reduzidos ao menor inteiro comum.

Passo 2

Vamos achar cada [u v w]:
  1. Vetor até (1,2,0):
    – Componentes: [u,v,w]=[1,2,0] .
    – Maior divisor comum de (1,2,0) é 1, então os índices são
    [u,v,w]=[,-1,1,1,]
  2. Vetor até (–1,1,1):
    – Componentes: [u,v,w]=[2,-1,1] .
    – GCD de (–1,1,1) é 1, então
    (Na prática, escrevemos o “–1” normalmente: .)
  3. Vetor até (2,–1,1):
    – Componentes: .
    – GCD de (2,–1,1) é 1, logo

Passo 3

Agora a parte gráfica no cubo simples:
– Vetor [110]: sai da origem e vai até o ponto (1,1,0). Fica no plano , a 45° entre os eixos e .
– Vetor [101]: sai da origem e vai até (1,0,1). Fica no plano , a 45° entre e .
– Vetor [111]: sai da origem e vai até (1,1,1). É a diagonal espacial do cubo (conecta vértice de baixo em (0,0,0) ao vértice oposto em cima).
Se você desenhar um cubo com eixos , , e marcar esses pontos, basta traçar setas da origem até cada um deles.

Resposta

a) Índices de direção:
(1,2,0)&;to;[1,2,0], (-1,1,1)&;to;[,-1,1,1], (2,-1,1)&;to;[2,-1,1]
b) No cubo simples, [110] é a aresta do quadrado na diagonal, [101] a diagonal do quadrado e [111] a diagonal espacial do cubo.

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