Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
Se duas retas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • Frase dada: “Se duas retas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.”
  • Pedido: determinar se essa frase é uma proposição ou não, e explicar por quê.
  • Informação disponível: somente a frase acima (não há hipóteses adicionais fornecidas).

Passo 2

O que é uma proposição (explicação didática e simples):
  • Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira ou é falsa (não pode ser ambígua, nem uma pergunta, nem uma ordem).
  • Exemplos simples:
    • “Hoje é segunda-feira.” — proposição (verdadeira ou falsa dependendo do dia).
    • “Que horas são?” — não é proposição (é pergunta).
  • Aplicando isso: a frase dada é declarativa (declara uma implicação sobre retas e plano), logo é do tipo que pode ser verdadeira ou falsa; portanto ela é, em princípio, uma proposição desde que se consiga atribuir verdade ou falsidade em um contexto geométrico bem definido.

Passo 3

Definições geométricas necessárias (explicadas passo a passo, sem jargões difíceis):
  • “Reta paralela a um plano”: adota-se aqui a definição usual em geometria euclidiana no espaço tridimensional: uma reta l é paralela a um plano \pi quando l e \pi não se intersectam (ou seja, não existe ponto comum entre l e \pi).
    Observação: se a reta estivesse contida no plano, normalmente diz-se que a reta pertence ao plano, não que é “paralela” a ele; seguir a definição “não se intersectam” deixa claro o caso relevante.
  • “Duas retas são paralelas entre si”: duas retas r_1 e r_2 são paralelas quando têm a mesma direção (os vetores diretores são múltiplos escalares um do outro) — nesse caso elas não se interceptam, e existe um plano que contém ambas. Se não houver proporcionalidade entre os vetores diretores e elas não se intersectam, então são chamadas de retas reversas (skew), não paralelas.

Passo 4

Estratégia para avaliar a frase:
  • Primeiro: confirmar que a frase é mesmo uma proposição (é declarativa e tem valor de verdade).
  • Segundo: decidir se ela é verdadeira ou falsa fornecendo um argumento. A forma mais direta é tentar encontrar um contraexemplo: construir duas retas que satisfaçam a hipótese (cada uma é paralela ao mesmo plano) mas que não satisfaçam a conclusão (as duas não são paralelas entre si). Se um contraexemplo existir, a implicação é falsa; se não for possível encontrar nenhum, então a implicação seria verdadeira.

Passo 5

Construção de um contraexemplo explícito em coordenadas (passo a passo, sem pular etapas):
  • Escolha um plano simples: \pi:\; z=0 (o plano xy).
  • Defina a primeira reta l_1 por equação paramétrica: l_1:\; (x,y,z) = (0,0,1) + t\,(1,0,0),\quad t\in\mathbb{R}.Isso significa que pontos de l_1 têm coordenadas (t,0,1). Note que toda coordenada z em l_1 vale 1.
  • Defina a segunda reta l_2 por equação paramétrica: l_2:\; (x,y,z) = (0,0,2) + s\,(0,1,0),\quad s\in\mathbb{R}.Isso significa que pontos de l_2 têm coordenadas (0,s,2). Aqui toda coordenada z em l_2 vale 2.
  • Verificar que ambas as retas são paralelas ao plano \pi:
    • Um ponto de l_1 tem z=1\neq0; como todos os pontos de l_1 têm z=1, l_1 não intersecta \pi. Logo l_1 é paralela a \pi.
    • Um ponto de l_2 tem z=2\neq0; como todos os pontos de l_2 têm z=2, l_2 também não intersecta \pi. Logo l_2 é paralela a \pi.
      Assim, a hipótese “duas retas são paralelas a um plano” é satisfeita por l_1 e l_2.
  • Verificar se l_1 e l_2 são paralelas entre si:
    • Vetor diretor de l_1: v_1=(1,0,0).
    • Vetor diretor de l_2: v_2=(0,1,0).
    • v_1 e v_2 não são múltiplos escalares um do outro (não existe \lambda com v_1=\lambda v_2), logo as retas não têm a mesma direção; portanto não são paralelas.
  • Verificar se elas intersectam (para saber se são paralelas ou reversas):
    • Para intersectarem, precisariam existir t,s tais que (t,0,1)=(0,s,2). Igualando coordenadas obtemos t=0, 0=s e 1=2. A última igualdade é impossível, logo não existe interseção.
    • Conclusão: l_1 e l_2 não se intersectam e não são paralelas — são retas reversas (skew).
  • Portanto temos um caso em que ambas as retas são paralelas ao mesmo plano \pi e, ainda assim, não são paralelas entre si. Isso é um contraexemplo que torna a implicação falsa.

Passo 6

Interpretação lógica final e conclusão didática:
  • A frase é uma proposição (é uma afirmação que pode ser avaliada como verdadeira ou falsa).
  • Ela é falsa, pois a implicação “se A então B” é falsa quando existe pelo menos um caso em que A é verdadeira e B é falsa; o par de retas l_1 e l_2 construído acima fornece exactamente esse caso.
  • Intuição geométrica: duas retas podem estar em “níveis” diferentes em relação a um plano (cada uma paralela ao plano, mas com alturas diferentes) e apontar em direções distintas; por isso não precisam ser paralelas entre si.

Resposta

A frase é uma proposição e é falsa.

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