Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
Se duas retas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.
Se duas retas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que ele pede:
- Frase dada: “Se duas retas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.”
- Pedido: determinar se essa frase é uma proposição ou não, e explicar por quê.
- Informação disponível: somente a frase acima (não há hipóteses adicionais fornecidas).
Passo 2
O que é uma proposição (explicação didática e simples):
- Uma proposição é uma frase declarativa que tem um valor de verdade bem definido: ou é verdadeira ou é falsa (não pode ser ambígua, nem uma pergunta, nem uma ordem).
- Exemplos simples:
- “Hoje é segunda-feira.” — proposição (verdadeira ou falsa dependendo do dia).
- “Que horas são?” — não é proposição (é pergunta).
- Aplicando isso: a frase dada é declarativa (declara uma implicação sobre retas e plano), logo é do tipo que pode ser verdadeira ou falsa; portanto ela é, em princípio, uma proposição desde que se consiga atribuir verdade ou falsidade em um contexto geométrico bem definido.
Passo 3
Definições geométricas necessárias (explicadas passo a passo, sem jargões difíceis):
- “Reta paralela a um plano”: adota-se aqui a definição usual em geometria euclidiana no espaço tridimensional: uma reta
é paralela a um plano quando e não se intersectam (ou seja, não existe ponto comum entre e ).
Observação: se a reta estivesse contida no plano, normalmente diz-se que a reta pertence ao plano, não que é “paralela” a ele; seguir a definição “não se intersectam” deixa claro o caso relevante. - “Duas retas são paralelas entre si”: duas retas
e são paralelas quando têm a mesma direção (os vetores diretores são múltiplos escalares um do outro) — nesse caso elas não se interceptam, e existe um plano que contém ambas. Se não houver proporcionalidade entre os vetores diretores e elas não se intersectam, então são chamadas de retas reversas (skew), não paralelas.
Passo 4
Estratégia para avaliar a frase:
- Primeiro: confirmar que a frase é mesmo uma proposição (é declarativa e tem valor de verdade).
- Segundo: decidir se ela é verdadeira ou falsa fornecendo um argumento. A forma mais direta é tentar encontrar um contraexemplo: construir duas retas que satisfaçam a hipótese (cada uma é paralela ao mesmo plano) mas que não satisfaçam a conclusão (as duas não são paralelas entre si). Se um contraexemplo existir, a implicação é falsa; se não for possível encontrar nenhum, então a implicação seria verdadeira.
Passo 5
Construção de um contraexemplo explícito em coordenadas (passo a passo, sem pular etapas):
- Escolha um plano simples:
(o plano ). - Defina a primeira reta
por equação paramétrica: Isso significa que pontos de têm coordenadas . Note que toda coordenada em vale . - Defina a segunda reta
por equação paramétrica: Isso significa que pontos de têm coordenadas . Aqui toda coordenada em vale . - Verificar que ambas as retas são paralelas ao plano
: - Um ponto de
tem ; como todos os pontos de têm , não intersecta . Logo é paralela a . - Um ponto de
tem ; como todos os pontos de têm , também não intersecta . Logo é paralela a .
Assim, a hipótese “duas retas são paralelas a um plano” é satisfeita pore .
- Um ponto de
- Verificar se
e são paralelas entre si: - Vetor diretor de
: . - Vetor diretor de
: . -
e não são múltiplos escalares um do outro (não existe com ), logo as retas não têm a mesma direção; portanto não são paralelas.
- Vetor diretor de
- Verificar se elas intersectam (para saber se são paralelas ou reversas):
- Para intersectarem, precisariam existir
tais que . Igualando coordenadas obtemos , e . A última igualdade é impossível, logo não existe interseção. - Conclusão:
e não se intersectam e não são paralelas — são retas reversas (skew).
- Para intersectarem, precisariam existir
- Portanto temos um caso em que ambas as retas são paralelas ao mesmo plano
e, ainda assim, não são paralelas entre si. Isso é um contraexemplo que torna a implicação falsa.
Passo 6
Interpretação lógica final e conclusão didática:
- A frase é uma proposição (é uma afirmação que pode ser avaliada como verdadeira ou falsa).
- Ela é falsa, pois a implicação “se A então B” é falsa quando existe pelo menos um caso em que A é verdadeira e B é falsa; o par de retas
e construído acima fornece exactamente esse caso. - Intuição geométrica: duas retas podem estar em “níveis” diferentes em relação a um plano (cada uma paralela ao plano, mas com alturas diferentes) e apontar em direções distintas; por isso não precisam ser paralelas entre si.
Resposta
A frase é uma proposição e é falsa.