Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
e
.
Passo 1
O enunciado pede que identifiquemos, dentre as duas frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e que expliquemos o porquê. As frases dadas são:
Não há mais informação no enunciado sobre
na segunda frase (por exemplo: nenhum valor ou quantificador foi atribuído a
). O objetivo é decidir, para cada uma, se ela tem valor de verdade bem definido (ou seja, se é uma proposição) e justificar.
Passo 2
O que é uma proposição? Vou explicar devagar e com exemplos.
- Uma proposição é uma frase declarativa que é verdadeira ou falsa, e apenas uma dessas duas (tem um valor de verdade bem definido). Exemplo:
é uma proposição (verdadeira). Exemplo: é uma proposição (falsa). - Nem toda expressão com símbolos matemáticos é proposição. Se a frase contém variáveis livres (sem quantificador ou sem valor atribuído), ela geralmente não tem valor de verdade até que essas variáveis sejam especificadas. Chamamos isso de sentença aberta (ou fórmula aberta). Exemplo:
não é proposição enquanto for uma variável livre; pode ser verdadeira para alguns e falsa para outros.
Passo 3
Conceitos importantes que vamos usar:
- Variável livre: uma variável que aparece numa expressão sem estar ligada por um quantificador ou sem ter valor definido. Ex.: em
(sozinho) a variável está livre. - Variável vinculada (ou ligada): quando um quantificador como
(para todo) ou (existe) aparece, ele liga a variável e transforma a expressão em algo com valor de verdade definido (potencialmente). Ex.: é uma frase com quantificador sobre ; a variável está ligada. - Quantificadores:
-
significa “existe pelo menos um no domínio tal que é verdadeiro”. -
significa “para todo no domínio , é verdadeiro”.
-
Quando uma sentença tem todas as variáveis ligadas por quantificadores ou tem valores atribuídos, ela é uma proposição (podemos avaliar se é verdadeira ou falsa). Caso contrário, se restar alguma variável livre, não é proposição.
Passo 4
Análise da primeira frase:
.
- Aqui há um quantificador existencial
que liga a variável . Não resta variável livre: a frase diz "existe um número real tal que ". - Logo, estruturalmente, isto é uma proposição (tem valor de verdade definido).
- Qual é o valor de verdade? Vamos verificar se é verdadeira ou falsa. Precisamos decidir se existe algum
com . - Basta dar um exemplo (testemunha). Por exemplo, escolha
. Calcula-se e . Portanto existe pelo menos um (por exemplo ) que satisfaz . - Conclusão:
é uma proposição e é verdadeira.
Passo 5
Análise da segunda frase:
.
- Nesta expressão não aparece nenhum quantificador nem foi dado um valor para
. A variável está livre. - Como
não foi especificado, a expressão não tem um único valor de verdade: para alguns valores de ela é verdadeira e para outros é falsa. Exemplos: - Se
então e é verdadeiro. - Se
então e é falso.
- Se
- Como há dependência do valor de
e não há quantificador nem atribuição, é uma sentença aberta (não é proposição). - Observação útil: podemos transformar essa sentença em proposições ao adicionar quantificadores ou atribuir
. Por exemplo: -
é verdadeira (por exemplo ). -
é falsa (porque, por exemplo, dá ). - Se for dado
então vira proposição verdadeira; se for dado vira proposição falsa.
-
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova (fórmula prática):
- Se a expressão contém variáveis, verifique se todas elas estão ligadas por quantificadores ou têm valores atribuídos. Se sim → é proposição; avalie se é verdadeira ou falsa. Se não → não é proposição (é sentença aberta).
- Presença do quantificador
ou normalmente transforma uma expressão com variável em proposição (desde que o domínio esteja especificado).
Vai dar certo! Lembre-se: identificar variável livre vs ligada é a chave. Respire fundo e marque isso nos enunciados da prova.