Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
O numero
é tal que
.
O numero
Passo 1
O enunciado fornece a frase a ser classificada:
- Frase dada:
O que é pedido:
- Determinar se essa frase, tal como está escrita, é uma proposição ou não.
- Explicar por que é ou não é proposição (ou seja, justificar a classificação).
Passo 2
O que é uma proposição (explicação didática):
- Uma proposição é uma frase declarativa que tem valor de verdade bem definido: é verdadeira ou é falsa (exatamente uma das duas).
- Exemplos:
é uma proposição verdadeira; é uma proposição falsa. - Frases com variáveis livres (por exemplo, “
”) não são proposições enquanto a variável não estiver especificada ou quantificada, porque seu valor de verdade depende do valor que se atribui à variável.
Passo 3
O que é uma sentença aberta / predicado e o papel de variável livre:
- Uma sentença que contém uma variável sem especificar seu valor (ou sem quantificador) é chamada de sentença aberta ou predicado.
- A variável nessa sentença é chamada de variável livre. Enquanto permanecer livre, a sentença não tem um valor de verdade fixo.
- Para transformar uma sentença aberta em proposição é preciso: (a) atribuir um valor específico à variável (por exemplo, dizer
), ou (b) colocar um quantificador que a torne uma afirmação sobre todos/alguns valores (por exemplo, ou ).
Passo 4
Análise da frase dada quanto a variáveis e domínio:
- A frase contém a variável
e afirma sem dizer qual é o ou sem quantificar . Logo há uma variável livre. - Observação importante sobre domínio da função logaritmo:
está definido apenas para . Então, se fosse necessário avaliar para algum , devemos olhar somente para .
Passo 5
Conclusão sobre se a frase é proposição (aplicando as definições):
- Como a frase deixa
livre (não fixa um valor, nem usa / ), ela é uma sentença aberta — isto é, não é uma proposição. - Em outras palavras: sem informação adicional sobre
, não é possível dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa; depende do valor de .
Passo 6
Tratamento adicional (útil para a prova): como tornar proposições relacionadas e avaliar sua verdade
- Se escrevemos
(existe em tal que ), isso é uma proposição. Para avaliá‑la, resolvemos a equação:
Como
e
, a proposição
é verdadeira.
- Se escrevemos
, isso também é uma proposição, e é falsa (porque a igualdade não vale para todos os ; além disso não está definida para ). - Se escrevemos
(fixando ), então a sentença com esse substituído é uma proposição verdadeira.
Passo 7
Resumo prático e dica para a prova (amigável):
- Regra rápida: se uma frase tem variáveis livres, marque como “não proposição” — transforme em proposição apenas ao fixar a variável ou usar quantificadores.
- Para essa frase específica, a maneira mais natural de torná‑la proposição e verificar sua verdade é usar o quantificador existencial; isso dá verdade porque
é solução única (logo também se pode afirmar ).
Resposta
Não é proposição.