Determine, dentre as frases abaixo, quais são proposições e quais não são, e explique o porque:
O numero x \in \mathbb{R} é tal que \ln x=63.

Passo 1

O enunciado fornece a frase a ser classificada:
  • Frase dada: \text{O número } x \in \mathbb{R} \text{ é tal que } \ln x = 63.úé
O que é pedido:
  • Determinar se essa frase, tal como está escrita, é uma proposição ou não.
  • Explicar por que é ou não é proposição (ou seja, justificar a classificação).

Passo 2

O que é uma proposição (explicação didática):
  • Uma proposição é uma frase declarativa que tem valor de verdade bem definido: é verdadeira ou é falsa (exatamente uma das duas).
  • Exemplos: 2+2=4 é uma proposição verdadeira; 3>7 é uma proposição falsa.
  • Frases com variáveis livres (por exemplo, “ x>0”) não são proposições enquanto a variável não estiver especificada ou quantificada, porque seu valor de verdade depende do valor que se atribui à variável.

Passo 3

O que é uma sentença aberta / predicado e o papel de variável livre:
  • Uma sentença que contém uma variável sem especificar seu valor (ou sem quantificador) é chamada de sentença aberta ou predicado.
  • A variável nessa sentença é chamada de variável livre. Enquanto permanecer livre, a sentença não tem um valor de verdade fixo.
  • Para transformar uma sentença aberta em proposição é preciso: (a) atribuir um valor específico à variável (por exemplo, dizer x=e^{63}), ou (b) colocar um quantificador que a torne uma afirmação sobre todos/alguns valores (por exemplo, \exists x ou \forall x).

Passo 4

Análise da frase dada quanto a variáveis e domínio:
  • A frase contém a variável x e afirma \ln x = 63 sem dizer qual é o x ou sem quantificar x. Logo há uma variável livre.
  • Observação importante sobre domínio da função logaritmo: \ln x está definido apenas para x>0. Então, se fosse necessário avaliar \ln x = 63 para algum x, devemos olhar somente para x>0.

Passo 5

Conclusão sobre se a frase é proposição (aplicando as definições):
  • Como a frase deixa x livre (não fixa um valor, nem usa \exists/ \forall), ela é uma sentença aberta — isto é, não é uma proposição.
  • Em outras palavras: sem informação adicional sobre x, não é possível dizer se a afirmação é verdadeira ou falsa; depende do valor de x.

Passo 6

Tratamento adicional (útil para a prova): como tornar proposições relacionadas e avaliar sua verdade
  • Se escrevemos \exists x\in\mathbb{R}:\\ \ln x = 63 (existe x em \mathbb{R} tal que \ln x=63), isso é uma proposição. Para avaliá‑la, resolvemos a equação:
\ln x = 63 \quad\Rightarrow\quad x = e^{63}.
Como e^{63}>0 e e^{63}\in\mathbb{R}, a proposição \exists x\in\mathbb{R}:\\ \ln x = 63 é verdadeira.
  • Se escrevemos \forall x\in\mathbb{R}:\\ \ln x = 63, isso também é uma proposição, e é falsa (porque a igualdade não vale para todos os x\in\mathbb{R}; além disso \ln x não está definida para x\le 0).
  • Se escrevemos x = e^{63} (fixando x), então a sentença \ln x = 63 com esse x substituído é uma proposição verdadeira.

Passo 7

Resumo prático e dica para a prova (amigável):
  • Regra rápida: se uma frase tem variáveis livres, marque como “não proposição” — transforme em proposição apenas ao fixar a variável ou usar quantificadores.
  • Para essa frase específica, a maneira mais natural de torná‑la proposição e verificar sua verdade é usar o quantificador existencial; isso dá verdade porque x=e^{63} é solução única (logo também se pode afirmar \exists!\\ x\in\mathbb{R}:\\ \ln x=63).

Resposta

Não é proposição.

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